c) C?A∨B∨┐B

因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。 d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B 设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。

若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 命题得证。

e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C 设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T， 则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T 又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。 f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B

设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F 又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。 （9）解：

a) 如果他有勇气，他将得胜。 P：他有勇气 Q：他将得胜

原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。 P：他不累 Q：他得胜

原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。

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习题 1-6 (1)解：

a) (P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q) b) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q ? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q

?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q) ?┓P∧Q ?┐(P∨┐Q) c) ┐P∧┐Q∧(┐R→P) ?┐P∧┐Q∧(R∨P)

?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P) ?(┐P∧┐Q∧R)∨F ?┐P∧┐Q∧R ?┐(P∨Q∨┐R) (2) 解： a)┐P? P↓P

b)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q) c)P∧Q?┐P↓┐Q? (P↓P)↓(Q↓Q) (3)解：

P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T

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?┐P∨P

? (┐P↑┐P)↑(P↑P) ?P↑(P↑P)

P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T ?┐P∨P ?┐(┐P↓P) ?┐((P↓P)↓P)

?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P) (4)解：

P↑Q

?┐(┐P↓┐Q) ?┐((P↓P)↓(Q↓Q))

? ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q)) (5)证明：

┐(B↑C) ?┐(┐B∨┐C) ? ┐B↓┐C ┐(B↓C) ?┐(┐B∧┐C) ?┐B↑┐C

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(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：

a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F ? 故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).

b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q↓R)为F ? 故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R). (7)证明：

设变元P，Q，用连结词?,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P，Q?Q，Q?P。

但P?Q?Q?P，P?P?Q?Q，故实际有：

P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P（T） （A） 用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：

P，Q，┐P，┐Q，┐（P?Q）， T，F， P?Q （B） 用?作用于（A）类，得到：

P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?（P?Q）?Q，P?（P?P）?P， Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?（P?Q）?P，Q?T?Q, ┐P?┐Q?P?Q，┐P?（P?Q）?┐Q，┐P?T?┐P, ┐Q?（P?Q）?┐P，┐Q?T?┐Q, （P?Q）?（P?Q）?P?Q.

因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。 对（B）类使用┐运算得：

┐P，┐Q，P，Q， P?Q， F，T， ┐（P?Q）， 仍在（B）类中。

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对（B）类使用?运算得：

P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?┐（P?Q）?┐Q，P?T?P，P?F?┐P，P?（P?Q）?Q，

Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?┐（P?Q）?┐P，Q?T?Q, Q?F?┐Q， Q?（P?Q）?P，

┐P?┐Q?P?Q，┐P?┐（P?Q）?Q，┐P?T?┐P, ┐P?F?P,┐P?（P?Q）?┐Q，

┐Q?┐（P?Q）?P，┐Q?T?┐Q, ┐Q?T?┐Q,┐Q?（P?Q）?┐P， ┐（P?Q）?T?┐（P?Q），┐（P?Q）?F?P?Q，┐（P?Q）?（P?Q）?F T?F?F，T?（P?Q）? P?Q F?（P?Q）? ┐（P?Q） （P?Q）?（P?Q）?P?Q.

故由（B）类使用?运算后，结果仍在（B）中。

由上证明：用?,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{?,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。

已证{?,┐}不是最小联结词组，又因为P Q? ┐（P?Q），故任何命题公式中的

∨ ∨ ∨ 联结词，如仅用{ , ┐}表达，则必可用{?,┐}表达，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。

(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。 证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则 ┐P?（P∨P∨……） ┐P?（P∧P∧……）

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