数学精品复习资料

动态型问题

知识点一: 动点问题

例1 （2009·遂宁市）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.

⑴求证：EF+GH=5cm；

o

⑵求当∠APD=90时，EF的值．

GH

解析：⑴∵矩形ABCD，AD=10cm， ∴BC=AD=10cm

∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点， ∴EF+GH=1BP+1PC=1BC，

222∴EF+GH=5cm．

⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90，又∵∠APD=90，

∴由勾股定理得AD=AP+DP=AB+BP+PC+DC=BP+(BC-BP)+2AB=BP+(10-BP)+32, 即100=2BP-20BP+100+32 解得BP=2或8(cm)

当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时EF?1

GH4当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时EF?4

GH∴EF的值为1或4．

4GH

知识点二 动线问题

例2 （2009·东营市） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角

2

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2

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o

o

形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

G M D N C A E B 解析：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.

所以，S△EMN=

1?2?0.5=0.5（平方米）. 2即△EMN的面积为0.5平方米. …………2分 （2）

G G M D H F N C D M C N B EB图2

A E E 图2 图1

B A

①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，

即0＜x≤1时，

1△EMN的面积S=?2?x=x；

2②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，

即1＜x＜1?3时，

如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， ∵ E为AB中点，

∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝3. 又∵ MN∥CD， ∴ △MNG∽△DCG．

∴ MN?GH，即MN?2[3?1?x]．

DCGF3故△EMN的面积S＝1?2[3?1?x]?x

23＝?3x2?(1?3)x；

33综合可得：

?x，?0＜x?1?? ?S??32??1?3?x．1＜x＜1?3?x??3?3??????（3）①当MN在矩形区域滑动时，S?x，所以有0?S?1； ②当MN在三角形区域滑动时，S=?因而，当x??323x?(1?)x. 33b1?3（米）时,S得到最大值， ?2a2232）4ac?b133最大值S===?（平方米）.

34a234?（?）3?（1?∵

13??1， 2313∴ S有最大值，最大值为?平方米.

23

知识点三 动形问题

例3 （2009·台州市）如图，已知直线y??1x?1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为2边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．