2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2011?海安县模拟）已知全集U=R，集合
2．（4分）（2011?海安县模拟）设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a= ．
3．（4分）（2015秋?上海校级期中）经过圆（x﹣1）+y=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是 ． 4．（4分）（2015秋?上海校级期中）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
，则A= ．
5．（4分）（2015秋?上海校级期中）已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═ ．
6．（4分）（2011?湖南模拟）若命题“?x∈R，使得x+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 7．（4分）（2015秋?上海校级期中）对任意非零实数a、b，定义一种运算：a?b，其结果y=a?b的值由如图确定，则
= ．
22
2
，则?UM= ．
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8．（4分）（2015秋?上海校级期中）（理科）极坐标系中两点
，
，
则线段AB的长等于 ． 9．（2013?自贡一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．
10．（4分）（2015秋?上海校级期中）若关于x，y的二元一次方程组
至
多有一组解，则实数m的取值范围是 ． 11．（4分）（2012?长宁区二模）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为 ．
12．（4分）（2015?新郑市校级一模）不等式sinx+acosx+a≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为 ． 13．（4分）（2015秋?上海校级期中）如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为 ．
2
2
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14．（4分）（2015秋?上海校级期中）在平面直角坐标系中，定义（n∈N
*
为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是经过点变换得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么
的值为= ．
15．（4分）（2015?青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 ．
二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分. 16．（4分）（2015秋?上海校级期中）A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（ ） A．π
17．（4分）（2015秋?上海校级期中）已知函数
，则“f（2）＜f（3）”
B．2π
C．
D．
是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（ ） A．“充要” B．“充分不必要”
C．“必要不充分” D．“既不充分也不必要” 18．（4分）（2010?武汉校级模拟）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； ⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6
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19．（2015秋?上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y
的最大值变化范围是（ ）
A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15] 20．（4分）（2010?大观区校级三模）长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ） A．x
三、解答题
21．（12分）（2010?上海模拟）关于x的不等式（1）求实数a、b的值；
（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求
22．（16分）（2013?福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
的值．
＜0的解集为（﹣1，b）．
B．
C．
D．x＞1
23．（16分）（2014?南昌模拟）如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣L
（1）求L的方程；
，C
，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为
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（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使说明理由．
对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，
24．（16分）（2013?盐城二模）设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式
任意n（n∈N）恒成立，其中k，b是常数． （1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由； （3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件试求Sn的最大值．
25．（18分）（2015秋?上海校级期中）已知f（x）=（1）求f（f（x））；
（2）对参数a的哪些值，方程|x|+|（3）设b为任意实数，证明：x+且x1+x2+x3=b．
|=a正好有3个实数解； ﹣
=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并
．
，
*
对
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