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§3.4 生活中的优化问题举例

【成功细节】

本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式y?f(x)，根据实际问题确定函数

y?f(x)的定义域；（2要熟练掌握应用导数法求函数最

2007年重庆市文科状元黄文帝

值的步骤，细心运算，正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；（4）在实际问题中，有f?(x)?0（2007年重庆市文科20题） 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的

函数值就是所求的最大（小）值。如，

本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?.

2??故长方体的体积为V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

3(0＜x＜).

22时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

【高效预习】（核心栏目）

【关注.思考】 1.了解优化问题的类型； 2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点. 【粗读·概括】 1.认真阅读教材中的例题,从中提炼解答优化问题的解题步骤. ;..

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【学习细节】（核心栏目）

A．基础知识

一、利用导数解决生活中的优化问题

【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

【例题1】 海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所

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示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 【引导】 先建立目标函数，然后利用导数求最值.

128dm,此时四周空白面积为 x128512 S(x)?(x?4)(?2)?128?2x??8,x?0。

xx 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为 求导数，得

512。 2x512'令S(x)?2?2?0，解得x?16(x??16舍去）。

x128128于是宽为??8。

x16S'(x)?2?当x?(0,16)时，S(x)<0；当x?(16,??)时，S(x)>0.

因此，x?16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【思考】在课本例1中，“x?16是函数S?x?的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

【探究】在实际问题中，由于f'''?x?=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）

值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。 由课本例1可得，S(x)?4x?256256?8?24x??8?2?32?8?72。 xx当且仅当4x?256128,即x?8(x?0)时S取最小值，此时y=?16。 x8【例题2】 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

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【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8?r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获

利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值. 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4 y?f?r??0.2??r3?0.?8r2?3?r3?2?0.8?r??3???r,?0 6令f??r??0.8?(r2?2r)?0 解得 r?2（r?0舍去） 当r??0,2?时，f??r??0；当r??2,6?时，f??r??0．

当半径r?2时，f??r??0它表示f?r?单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r?2时，f??r??0 它表示f?r?单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为2cm 时，利润最小，这时f?2??0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

【引导】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：

?r2?f?r??0.8???r2?,0?r?6。图象如图，

?3?

能否根据它的图象说出其实际意义？

【探究】当r??0,2?时，，f?r?为减函数，其实际意义为：瓶子的半

径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小；当r??2,6?时，

f?r?为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。

特别的，当r?3时，f?3??0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等， r?3时，利润才为正值．当r?2 时，f?2??0，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。

【例题2】 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本

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