第六章 简单超静定问题 习题解

[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图

解：把B支座去掉，代之以约束反力RB（↓）。设2F作用点为C， F作用点为D，则：

NBD?RB NCD?RB?F NAC?RB?3F

变形谐调条件为：

?l?0

NAC?aNCD?2aNBD?a???0 EAEAEANAC?2NCD?NBD?0

RB?2(RB?F)?RB?3F?0

RB??故：NBDNCDNAC5F（实际方向与假设方向相反，即：↑） 45F ??45FF???F??

445F7F ???3F?44轴力图如图所示。

-5-4-3

4x(a)321N(F/4)0-2-1012轴力图345671

[习题6-2] 图示支架承受荷载F?10kN，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积

222分别为A1?100mm，A2?150mm，A3?200mm。试求各杆的轴力。

解：以节点A为研究对象，其受力图如图所示。

?X?0

?N2?N3cos300?N1cos300?0

?2N2?3N3?3N1?0 2N2?3N3?3N1?0………(1)

?Y?0

N3sin300?N1sin300?F?0

N3?N1?20…………(2)

变形谐调条件：

设A节点的水平位移为?x，竖向位移为?y，则由变形协调图（b）可知：

?l1??ysin300??xcos300

?l2??x

?l3??ysin300??xcos300

?l1??l3?2?xcos300

?l1??l3?3?l2

设l1?l3?l，则l2?3l 2N1lN3l??3?EA1EA3N1N33N2?? A1A32A2N2?3l2 EA2NN13N2?3? 1002002?150 2

2N1?N3?2N2

N3?2N1?2N2………………(3)

(1)、(2)、(3)联立解得：N1?8.45kN；N2?2.68kN；N1?11.54kN（方向如图所示，为压力，故应写作：N1??11.54kN）。

[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受多少力。 解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用N1,N2,N3,N4表示。 由其平衡条件可列三个方程：

?Z?0

N1?N2?N3?N4?F?0 N1?N2?N3?N4?F…………(1)

?Mx?0

N222?2a?N42a?0 N2?N4………………(2)

?My?0

N1?22a?F?e?N23?2a?0 NN2Fe1?3??a…………(3) 由变形协调条件建立补充方程

N

1lEA?N3lEA?2N2EA

N1?N3?2N2。。。。。。。。。。（4）

3

(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：

N2?N4?F 41eN1?(?)F

42a1eN3?(?)F

42a[习题6-4] 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知F?50kN，两根钢杆的横截面面积A?1000mm，

试求两杆的轴力和应力。 解：以AB杆为研究对象，则：

2?MA?0

N1?a?N2?2a?50?3a?0 N1?2N2?150…………(1)

变形协调条件：

?l2?2?l1

N2l2N1l? EAEAN2?2N1…………………(2)

(1)、(2)联立，解得：

N1?30kN N2?60kN

?1??2?N130000N??30MPa A1000mm2N260000N??60MPa A1000mm2 4

[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE

2支承。已知钢杆BD和CE的横截面面积A2?200mm和A1?400mm，钢杆的许用应力

2[?]?170MPa，试校核该钢杆的强度。

解：以AB杆为研究对象，则：

?MA?0

3?0 2N1?1?N2?3?(30?3)?N1?3N2?135………………(1)

变形协调条件：

?l11? ?l23 ?l2?3?l1

N2?1.8lNl?3?1

EA2EA1N2?1.83N1? 200400N1?1.2N2…………………(2)

(1)、（2）联立，解得：

N1?38.571kN（压）；N2?32.143kN（拉）

故可记作：N1??38.571kN；N2?32.143kN 强度校核： |?1|?|N138571N|??96.4275MPa?[?]?170MPa，符合强度条件。 2A1400mm ?2?

N232143N??160.715MPa?[?]?170MPa，符合强度条件。 A1200mm25