（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝ 1 ，PH＝ 1 ；当m＝4时，OP＝ 5 ，PH＝ 5 ．

（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． （3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．

【分析】（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长； （2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；

（3）当OP＝OH，且m≠0时，由（2）可知△OPH是等边三角形，进而求得∠HOQ＝30°，解直角三角形即可求得．

【解答】解：（1）当m＝0时，P（0，1），OP＝1，PH＝2﹣1＝1； 当m＝4时，y＝﹣3，P（4，﹣3），OP＝故答案为：1，1，5，5； （2）猜想：OP＝PH， 证明：PH交x轴与点Q， ∵P在y＝﹣x+1上，

∴设P（m，﹣m+1），PQ＝|﹣x+1|，OQ＝|m|， ∵△OPQ是直角三角形， ∴OP＝

22

2

2

＝5，PH＝2﹣（﹣3）＝5，

＝

2

＝＝m+1，

2

PH＝2﹣yp＝2+m﹣1＝m+1 OP＝PH．

（3）∵OP＝PH，

∴当OP＝OH，三角形OPH是等边三角形， ∵OQ⊥PH， ∴∠HOQ＝30°， ∴OQ＝

HQ＝2，

，

，﹣2）．

∴P点的横坐标为±2∴P（2

，﹣2）或（﹣2

23．某次数学研究课上师生共同研究以下问题，请帮助完成：

特殊研究：如图1，在正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE． （1）若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分． （2）求证：（BE+DF）+EF＝2AB

一般应用：如图2，若AB＝4，点P为正方形内部一点，且∠DPB＝135°，4

，求PD的长．

2

2

2

BP+2PD＝

【分析】特殊研究（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形EBFD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并与矩形的对边相等相结合可得结论；

一般应用：如图4，类比如图2，构建矩形GEPD，设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝由勾股定理得：BG+DG＝BD，则（x+y）+x＝（4则2x+2y＝4

②，解①和②可得结论．

2

2

2

2

2

x，

），由已知得：

2

BP+2PD＝4

【解答】解：特殊研究

（1）证明：如图1，连接ED、BF，

∵BE＝DF，BE∥DF，

∴四边形EBFD是平行四边形， ∴EF与BD互相平分； 规律探究

（2）如图2，过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，

∴∠EGD＝∠GEF＝∠EFD＝90°， ∴四边形GEFD是矩形， ∴EF＝GD，EG＝DF，

在Rt△BGD中，BG+DG＝BD， ∴（BE+EG）+EF＝BD， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴BD＝2AB，

∴（BE+DF）+EF＝2AB；

（2）一般应用

如图3，过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE，过D作DG⊥BE，得矩形GEPD，

2

2

2

2

22

2

22

2

2

∴GD＝EP，EG＝PD，

设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝∵AB＝4， ∴BD＝4

，

2

2

2

x

在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG+DG＝BD， ∴（x+y）+x＝（4

2

22

2

），

2

∴2x+2xy+y＝32 ①， ∵

BP+2PD＝4，

∴2x+2y＝4解①和②得：∴PD＝2

﹣2

②，

，

．