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§11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用

一、空间曲线的切线与法平面

1. 设空间曲线C的参数方程是

x?x(t),y?y(t),z?z(t),t?I（区间）.

0x?(t),y?(t),z?(t)不同它们在区间I可导，且?t?I,有x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)?（即时为0）.取定t0?I，对应曲线C上一点P0(x0,y0,z0)?P0[x(t0),y(t0),z(t0)].任取改变量?t?0，使t0??t?I，对应曲线C上另一点

P1(x0??x,y0??y,z0??z)?P1[x(t0??t),y(t0??t),z(t0??t)].

由空间解析几何知，过曲线C上两点P0与P1割线方程是 或

x?x0y?y0z?z0??, ?x?y?zx?x0y?y0z?z0??. ?x?y?z?t?t?t当点P1沿曲线C无限趋近于点P0时，即?t?0，割线P0P1的极限位置就是曲线C上点P0的切线.于是，曲线C上点P0的切线方程是

x?x(t0)y?y(t0)z?z(t0)??. x?(t0)y?(t0)z?(t0)切线的方向向量T[x?(t0),y?(t0),z?(t0)]称为曲线C在点P0的切向量.

一个平面通过空间曲线C上一点P0(x0y0,z0)，且与过点P0的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点P0的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一点P(x,y,z)，则向量P0P?(x?x0,y?y0,z?z0)与切线的切向量T[x?(t0),y?(t0),z?(t0)]垂直，即

(x?(t0),y?(t0),z?(t0))?(x?x0,y?y0,z?z0)?0. 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是

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x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0 或 x?(t0)[x?x(t0)]?y?(t0)[y?y(t0)]?z?(t0)[z?z(t0)]?0.

例1. 求螺旋线x?acost,y?asint,z?bt在t0?程.

解： x???asint,y??acost,z??b. 切线方程是

?3处的切线方程与法线方

x?acos

?3?y?asinacos?3?z?bb?3.

?asinx???33?a3y?az?b3. 2?2?即 ab3?a22 法线方程是

3?a?a?3????a?x????y?a?bz?b??0. ????2?2?2?23????F2(x,y,z)?02. 设三维欧氏空间R3的曲线C是由函数方程组F1(x,y,z)?0，

上所确定，即曲线C是这两个曲面的交线.在空间曲线C上任取一个定点

P(x0,y0,z0)，即F1(x0,y0,z0)?0与F2(x0,y0,z0)?0.设F1(x,y,z)与F2(x,y,z)对

且x,y,z的偏导数在点P的邻域内都连续，

?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)不同,,?(x,y)P?(y,z)P?(z,x)P时为零，不防设

?(F1,F2)?0.根据§11.1定理4，在点x0某邻域，空间曲线C

?(y,z)P可表为 y?y(x) 与 z?z(x). 于是，空间曲线C可表为以x为参数的参数方程 x?x,y?y(x),z?z(x).

从而，空间曲线C在点P的切线向量是T(1,由隐函数的求导公式，有

dydzdydz,)，下面求,. dxdxdxdx精品文档

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??F1?F1dy?F1dz??x??ydx??zdx?0,? ?

??F2??F2dy??F2dz?0.??ydx?zdx??x?(F1,F2)?(F1,F2)dydz?(z,x)?(x,y)??解得 ， . ?(F,F)?(F,F)dxdx1212?(y,z)?(y,z)由切线方程的公式，三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的切线方程是

x?x0y?y0z?z0 ??1?(F1,F2)?(F1,F2)?(z,x)P?(x,y)P?(F1,F2)?(y,z)P?(F1,F2)?(y,z)P或

x?x0y?y0z?z0. （1） ???(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的法平面方程是

?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2) (x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0. （2）

?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P例2. 求曲线x2?y2?z2?6,x?y?z?0在点P(1,?2,1)的切线方程与法平面方程.

解： F1?x2?y2?z2?6,

?F1?2x,?x?F2?1,?xF2?x?y?z.

?F1?2y,?y?F2?1,?y?F1?2z, ?z?F2?1. ?z

?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)=?6 =0 =6

?(y,z)p?(z,x)p?(x,y)p由公式（1）与（2），曲线在点P(1,?2,1)的切线方程与法平面方程分别是

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