量 子 力 学 习 题

（三年级用）

北京大学物理学院

二OO三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的de?Broglie波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV的慢中子

??n?1.67?10?24克；被铀吸收； ?6.64?10?24克；

?（2）能量为5MeV的a粒子穿过原子?a（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用de可能值。

?Broglie关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量

1

第二章 波函数与波动力学

1、设??x??1?a2x2Ae2?a为常数?

（1）求归一化常数 （2）x??,px??.

1ikr1?ikr2、求?1?e和?2?e的几率流密度。

rr3、若??Aekx?Be?kx,求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结

??论？（其中k为实数）

4、一维运动的粒子处于

?Axe??x??x???0?x?0x?0

的状态，其中??0,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证

????0

其中??j/?

6、一维自由运动粒子，在t?0时，波函数为 ??x,0????x?

求：

?(x,t)??

2 2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

?0V???V02、一粒子在一维势场

x?0x?0?V0?0?

中，求：E＞V0时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

V(x)中运动。

?????0???x?00?x?a x?0（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于?n(x)态，证明：x?a/2,

?x?x?

2a2?6???1?22?. 12?n??

3、若在x轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为

如

C?S11A?S12DB?S21A?S22D

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

3

S11证明：S2122?S12?S2222?1?1

S11S12??S21S22??0这表明S是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

???V?X???0?V?05、求粒子在下列位场中运动的能级

x?00?x?a x?a???V?X???122??x??26、粒子以动能E入射，受到双?势垒作用

x?0x?0

V?x??V0??(x)??(x?a)?

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态，

V1(x)12?kx2k?0

（1）若弹性系数k突然变为2k，即势场变为

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