【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．

【解答】解：由题意可知故积分故答案为：

．

的近似值为

．

得，

14．（5分）（2010?宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （写出三种）

【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．

【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．

故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．

15．（5分）（2010?宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为 （x﹣3）2+y2=2 ．

【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程． 【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2， 则解得

，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．

，

故答案为：（x﹣3）2+y2=2．

16．（5分）（2010?宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为

，则∠BAC= 60° ．

【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利

13

用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值． 【解答】解：由△ADC的面积为

可得

解得，则．

，

AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos120°=

，

则

故∠BAC=60°．

=．

三、解答题（共8小题，满分90分）

17．（12分）（2010?宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1 （1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】（Ⅰ）由题意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n

﹣1

+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．

（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1

=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×

+2=22（n+1）﹣1．

14

而a1=2，

所以数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．

（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1②

①﹣②得（1﹣22）?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1． 即

18．（12分）（2010?宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 （1）证明：PE⊥BC

（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

．

【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系． （1）表示

，

，计算

，就证明PE⊥BC．

（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量， 求向量

，然后求

与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成

角的正弦值．

【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，

建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0） （Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0） 则可得

．

．

15

因为

所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣

），

设=（x，y，z）为平面PEH的法向量 则因此可以取由可得

，

即

，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．

19．（12分）（2010?新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表： 性别 是否需要志愿 需要 4 3男 女 0 0 不需要 1

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