等差数列的性质练习 含答案 下载本文

a4-a2

当a2=2,a4=6时,d==2>0(舍去),

4-2a4-a2

当a2=6,a4=2时,d==-2.

4-2

所以数列的通项公式为an=a2+(n-2)d=6+(n-2)×(-2)=-2n+10.

即an=-2n+10.

6.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于( )

A.0 C.100 【答案】 C

【解析】 设{an},{bn}的公差分别是d1,d2,∴(an+1+bn+1)-(an

+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,

∴{an+bn}为等差数列. 又∵a1+b1=a2+b2=100, ∴a37+b37=100. 故正确答案为C.

7.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )

A.-2 C.-4

B.-3 D.-5 B.37 D.-37

【答案】 C

【解析】 设该数列的公差为d,则由题设条件知: a6=a1+5d>0,a7=a1+6d<0. 23??d>-5,又∵a1=23,∴?23

??d<-6,2323

即-5

8.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N+.设cn=abn(n∈N+),则数列{cn}的前10项和等于( )

A.55 C.85 【答案】 C

【解析】 由题cn=abn(n∈N+),

则数列{cn}的前10项和等于ab1+ab2+…+ab10=ab1+ab1+1+…+ab1+9.

∵ab1=a1+(b1-1)=4,

∴ab1+ab1+1+…+ab1+9=4+5+…+13=85. 二、填空题(每小题10分,共20分)

9.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=________.

B.70 D.100

【答案】 1

【解析】 ∵a1+a3+a5=105,即3a3=105,∴a3=35, 同理a4=33,∴d=a4-a3=-2, ∴a20=a4+(20-4)d=1.

10.等差数列{an}中,a1+a4+a10+a16+a19=150,则a18-2a14

=________.

【答案】 -30

【解析】 由a1+a4+a10+a16+a19=5a10=150,得a10=30,a18

-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-30.

三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11.(1)已知数列{an}为等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15.

(2)在等差数列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列{an}的通项公式.

【解析】 (1)方法一:∵数列{an}是等差数列,∴设数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意得a1-(a1+4d)+(a1+8d)-(a1+12d)+(a1+16d)=117,

∴a1+8d=117.

从而a3+a15=(a1+2d)+(a1+14d)=2(a1+8d)=234.

方法二:由等差数列的性质知,a1+a17=a5+a13=a3+a15=2a9.

∵a1-a5+a9-a13+a17=117, ∴a9=117,∴a3+a15=2a9=234.

(2)∵a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,a2+a8=a3+a7=2a5,∴a5=3,∴a3+a7=2a5=6,a3a7=-7,

解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1.

又a7=a3+4d,∴当a3=-1,a7=7时,可得d=2; 当a3=7,a7=-1时,可得d=-2.

根据an=a3+(n-3)d,可得当a3=-1,d=2时,an=2n-7;当a3=7,d=-2时,an=-2n+13.

12.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.

(1)求b1和b2; (2)求{bn}的通项公式;

(3){bn}中的第503项是{an}的第几项?

【解析】 数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列.

(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.

数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-27.

(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am, 则m=3+4(n-1)=4n-1,

∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n. 即{bn}的通项公式为bn=13-20n.

(3)b503=13-20×503=-10 047,设它是{an}中的第m项,则-10 047=8-5m,则m=2 011,即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.