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§4.7 正弦定理和余弦定理

考纲展示? 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．

考点1 利用正、余弦定理解三角形

正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理 ＝________＝ sin A公式 ________＝2R 续表 定理 正弦定理 (1)a＝2Rsin A， aa2＝____________； b2＝____________； c2＝____________ 余弦定理 b＝____________， c＝____________； (2)sin A＝，sin B＝________，sin C2R常见 变形 ＝acos A＝__________； cos B＝__________； cos C＝__________ c； 2R(3)a∶b∶c＝________； (4)asin B＝bsin A， ①bsin C＝csin B， asin C＝csin A 答案：2Rsin C

bsin Bsin C c b＋c－2bccos A c＋a－2cacos B a＋b－2abcos C 2Rsin B

222222

b 2Rb2＋c2－a2c2＋a2－b2

sin A∶sin B∶sin C

2bc2ac小初高教育精品资料

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a2＋b2－c2

2ab

(1)[教材习题改编]在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠A＋∠C＝( ) A．90° C．135° 答案：B

(2)[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝75°，c＝20，则a＝________. 答案：106

B．120° D．150°

解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边． (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝23，C＝30°，则c＝________. 答案：7

解析：由余弦定理，得c＝a＋b－2abcos C＝5＋(23)－2×5×23cos 30°＝7，所以c＝7.

π3

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sin A＝，b＝3，则

35

2

2

2

2

2

a＝________.

6

答案： 5

33×

56ab解析：由正弦定理＝，得a＝＝. sin Asin B53

2

(3)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶4∶3，则cos C＝________. 11答案：

16

解析：设a＝2k，b＝4k，c＝3k(k>0)，

a2＋b2－c211

则cos C＝＝.

2ab16

[典题1] [2017·山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且小初高教育精品资料

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bsin A＝3acos B.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解] (1)∵bsin A＝3acos B，

由正弦定理得sin Bsin A＝3sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， π

即得tan B＝3，∴B＝.

3

(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b＝a＋c－2accos B， π22

即9＝a＋4a－2a·2acos ，

3解得a＝3，∴c＝2a＝23.

[点石成金] 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

2．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

2

2

2

7

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. 9(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解：(1)由余弦定理，得

a2＋c2－b2a2＋c2－47

cos B＝＝＝，

2ac2ac9

1422

即a＋c－4＝ac.

9

142

∴(a＋c)－2ac－4＝ac，∴ac＝9.

9

??a＋c＝6，由?

?ac＝9，?

得a＝c＝3.

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