【拔高教育】K12课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.7正弦定理和余弦定理学案理 下载本文

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§4.7 正弦定理和余弦定理

考纲展示? 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

考点1 利用正、余弦定理解三角形

正、余弦定理

在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则

定理 正弦定理 余弦定理 =________= sin A公式 ________=2R 续表 定理 正弦定理 (1)a=2Rsin A, aa2=____________; b2=____________; c2=____________ 余弦定理 b=____________, c=____________; (2)sin A=,sin B=________,sin C2R常见 变形 =acos A=__________; cos B=__________; cos C=__________ c; 2R(3)a∶b∶c=________; (4)asin B=bsin A, ①bsin C=csin B, asin C=csin A 答案:2Rsin C

bsin Bsin C c b+c-2bccos A c+a-2cacos B a+b-2abcos C 2Rsin B

222222

b 2Rb2+c2-a2c2+a2-b2

sin A∶sin B∶sin C

2bc2ac小初高教育精品资料

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a2+b2-c2

2ab

(1)[教材习题改编]在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则∠A+∠C=( ) A.90° C.135° 答案:B

(2)[教材习题改编]在△ABC中,已知∠A=60°,∠B=75°,c=20,则a=________. 答案:106

B.120° D.150°

解三角形的一般类型:已知两边及一角;已知两角及一边;已知三边. (1)在△ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c=________. 答案:7

解析:由余弦定理,得c=a+b-2abcos C=5+(23)-2×5×23cos 30°=7,所以c=7.

π3

(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,sin A=,b=3,则

35

2

2

2

2

2

a=________.

6

答案: 5

33×

56ab解析:由正弦定理=,得a==. sin Asin B53

2

(3)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶4∶3,则cos C=________. 11答案:

16

解析:设a=2k,b=4k,c=3k(k>0),

a2+b2-c211

则cos C==.

2ab16

[典题1] [2017·山师大附中一模]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且小初高教育精品资料

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bsin A=3acos B.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. [解] (1)∵bsin A=3acos B,

由正弦定理得sin Bsin A=3sin Acos B. 在△ABC中,sin A≠0, π

即得tan B=3,∴B=.

3

(2)∵sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a, 由余弦定理b=a+c-2accos B, π22

即9=a+4a-2a·2acos ,

3解得a=3,∴c=2a=23.

[点石成金] 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

2.三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

2

2

2

7

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=. 9(1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 解:(1)由余弦定理,得

a2+c2-b2a2+c2-47

cos B===,

2ac2ac9

1422

即a+c-4=ac.

9

142

∴(a+c)-2ac-4=ac,∴ac=9.

9

??a+c=6,由?

?ac=9,?

得a=c=3.

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