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A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7 【答案】A

【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点

处取得最大值.故选A.

11. 已知在正四面体的余弦值为（ ） A.

B.

C.

中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角

D.

【答案】B

【解析】

如图，设正四面体的棱长是1，则则

，所以

，高，设点在底面内的射影是，

，应选答案B。

即为所求异面直线所成角，则

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点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线所成的角

12. 已知范围是（ ）

与

，再运用解直角三角形的知识求出

，

，其中

，若函数

，从而使得问题巧妙获解。

在区间

内没有零点，则的取值

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】,,故,或,解得或.故选D.

【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得的取值范围.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 如图，在半径为2的扇形__________．

中，

，为弧

上的一点，若

，则

的值为

【答案】【解析】因为

,所以

）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为

以O为坐标原点,OA为x轴建系，则14. 若从区间__________． 【答案】

（为自然对数的底数，

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【解析】设，由，得，所以所求概率．

点睛：

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 15. 已知在

中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认

为是正确论断的序号都写上） ①若②若

，

，则，

；

，则满足条件的三角形共有两个；

，

，

成等比数列，则，则

.

为正三角形；

③若，，成等差数列，④若

，

，

的面积

【答案】①③

【解析】对于①,由正弦定理得

解得

,即

,故

,所以正确.对于②,由余弦定理得

,而

,所以

,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得

为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有

钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确.

,此时角应该对应两个解,一个

【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查解三角形解的个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的

数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为

角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性. 16. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若则椭圆的离心率为__________． 【答案】

【解析】画出图形如下图所示。

，且

，

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由椭圆的定义可知：∵∴∵∴

，∴。 ，

，∴

。

，

。

在中，由余弦定理可得：,

在中，由余弦定理可得：。

∵∴∴

,整理得

，∴

，

，

。 答案：。

点睛：本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理，分别在

和

中得到关于a和c的等式；然后由

可得

，综合两式可得

学生由较高的处理数据的能力。

，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大，需要

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列（1）求数列（2）求数列【答案】（1）

的前项和满足的通项公式； 的前项和.

.（2）

. .

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【解析】【试题分析】(1)利用项和. 【试题解析】 （1）当当即所以

（2）由（1）得

时，

.又因为

.

，所以

， ②

时，

，所以，则，所以数列

；

求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前

，

是以1为首项，3为公比的等比数列，

， ①

②①，得 ，

所以.

18. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.

（1）求证：（2）若面

. ，

，在平面

内的射影恰为线段

的中点，求平面

与平

所成锐二面角的余弦值.

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