专题能力训练14 空间中的平行与垂直

一、能力突破训练

1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )

A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1

2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )

A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心

3.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)

4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .

5.下列命题中正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;

②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;

③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2; ④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.

6.

在正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC=求证:(1)A1C∥平面AB1D; (2)BC1⊥平面AB1D.

BB1.设B1D∩BC1=F.

7.

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点. (1)求证:PC⊥AD;

(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面; (3)求点D到平面PAM的距离.

8.(2018全国Ⅰ,理18)

如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

二、思维提升训练

9.(2018浙江,8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则( ) A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1 10.

如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点. (1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF; (2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.

11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由; (2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.

12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上. (1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1;

(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.

13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将△ABD(如图①)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图②).

(1)求证:AE⊥平面BDC;

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (3)求点B到平面ACD的距离.