《通信原理》习题第一章
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex22s2?t?sin2?t??2??2 故 EX2?t???co2????????(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x???z2??。 exp??2??2???2??1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??
2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2?cos2??t2?t1? ??2cos
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 222?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。
A2功率P=R(0)=
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习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
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《通信原理》习题第一章
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
?1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px?????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0Sa?Sa???4?2???2???????
1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f。试求此信号的自相关函数?f2习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。
解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
2sin?f ?f?1??, ?1???0?j2?f?df??1??0???1 其自相关函数RX?????????G(f)e?0,其它?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2 2k?(2?f)2 7
《通信原理》习题第一章
P?Rn?0??k2
(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高
?0,t?0通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
输出信号y(t)的能量谱密度为
Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?2211??1?j2?f?
??j2?f?C R R?1j2?fC)(1?1j2?f?)
图2-3RC 高通滤波器
习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
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解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?
习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10
习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=
j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC2
图2-4LC低通滤波器
n01
21??2LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)
4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?(2) 输出亦是高斯过程，因此 ?2?R0(0)?R0?(?)R
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RC0Cn(?0)0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , ?y2?R0(0)?所以输出噪声的概率密度函数
py(x)?12x2RCexp(?)
n0?n02RC
习题2.18设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变
R(0,1)量，且p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及?。
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《通信原理》习题第一章
解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;
R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2
习题2.19设
Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t2
是一随机过程，若
X1和
X2是彼此独立且
具有均值为 0、方差为?的正态随机变量，试求：
2E[Z(t)]； E[Z(t)]（1）、
（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）
B(t1,t2)和
R(t1,t2)。
解： （1）
E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0
因为
X1和
X2是彼此独立的正态随机变量，
X1和
X2是彼此互不相关，所以
E[X1X2]?0
E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]
E[X1]?0D(X1)?E[X12]?E[X22]??2?E[X12]??2又;
同理
E[X22]??2
22E[Z(t)]??代入可得
（2）
22E[Z(t)]??E[Z(t)]由=0； 又因为Z(t)是高斯分布
1f[Z(t)?]2D[Z(t)]??2??可得 z2ex?p(22?
)(3)
B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)
?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]
?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令
t1?t2??
习题2.20求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：
10
Rx(?)、
Ry(?)。