《通信原理》习题第一章
因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)
习题2.21若随机过程
Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关
?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼
此统计独立。
（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度
解：
（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；
E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形；
PZ(w)及功率S 。
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00
?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)
只与
t2?t1??有关：
令
t2?t1??
?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]
E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}
1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02
1?cos(w0?)2
1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关，证毕。
（2）波形略；
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《通信原理》习题第一章
?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???
PZ(w)?RZ(?)
而
RZ(?)的波形为
可以对
Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
Rm(?)的付氏变换。
Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22
w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422
功率S：
S?RZ(0)?1/2
Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2，a为常数： 求n和S；
习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数
解：
因为
exp(?a?)?2aw2?a2
aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?22w?a2 所以
S?R(0)?a2
习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数
R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度
P?(w) 。
wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题
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《通信原理》习题第一章
因为
?T(t)??n????(t?2n)? 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
?P?(w)?PR(w)F?(w)?而
?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为
wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2
G2B?(w)?BSa(B??)?因为w0又
G2w0(w)?Sa(w0?),故
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
12?1由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f?)2(tF(w)*2F(w)
n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
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又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00
n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
的白噪声
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2
所以
?n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC
n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2解：
H(w)?
R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)
(2)
E[n0(t)]?0；
n0R4L
Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔关，且过程具有宽平稳性，试证：
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??TbTb，脉冲
内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
（1） 自相关函数
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2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]（2） 功率谱密度
解： （1）
。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb??Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
1Tb???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(?)Tb4TTb b在图示的一个间隔内，
?11T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(b?)?1???Tb44TbTbTb 当时，
?0,??Tb?R?(t)????1??/Tb,??Tb 故
（2）
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