1.1 基本计数原理

课堂导学

三点剖析

一、分类计数原理中并列性 分步计数原理中相依性

【例1】（1）书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的外语书，从中任取一本书的不同取法的总数是多少？

（2）如果从中任取3本书，包括数学、语文、外语各一本，则不同取法的总数是多少？ 思路分析：从分步和分类两方面来考虑这个问题. 解：（1）从中取一本有3种情况： ①取一本数学书，有5种取法； ②取一本语文书，有6种取法； ③取一本外语书，有4种取法. 根据分类计数原理N=5+6+4=15. （2）分三步:

①取数学书，有5种取法; ②取语文书，有6种取法; ③取外语书，有4种取法.

根据分步计数原理，N=5×6×4=120. 温馨提示

“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于明确分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰. 二、分类计数原理

【例2】4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？

思路分析：分步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为0，且正反两面可用。 分三个步骤：

第一步：首位可放8-1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数.

据乘法原理，可组成N=7×6×4=168个. 温馨提示

运用分类计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏. 三、应用两个基本原理时，分类与分步的标准

【例3】如图所示为一电路图，从A到B共有___________条不同的线路可通电.

解析：∵按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3种，中线路中有1种，下线路中有2×2=4（种）.根据分类计数原理，共有3+1+4=8（种）.

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答案：8 温馨提示

完成一件事可以有独立的几种办法，那么解决此问题需按分类计数原理，本题中按上、中、下三条路线都可使线路通电，因此可分三类.但下线路中又得分成两步才能完成，需用乘法计数原理.

各个击破

类题演练 1

一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.

（1）某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？

（2）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？

解析：本题主要考查两个计数原理的应用以及分类思想方法.关键是确定完成这件事，到底是分“类”还是“步”.

（1）任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理知，有10+12=22（种）取法.

（2）从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理知，有10×12=120（种）取法. 变式提升 1

在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有__________个.

解析：根据题意将十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）. 答案：36 类题演练 2

我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5枚一元硬币按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正，反，反，反，正”.问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？

解析：分五个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或“反”两种不同的情况，由分步乘法

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计数原理，得N=2×2×2×2×2=2=32.所以一共可以得到32个不同的序列. 变式提升 2

将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.

思路分析：可分两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计算原理即可得出结论.

思路分析：可分两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.

解析：如右图，由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.

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当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3；若C染颜色2，则D可染颜色3、4、5之一，有3种染法，若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法.因此不同的染色方法共有60×7=420种. 类题演练 3

集合A={a,b,c,d,e}有5个元素，集合B={m,n,f,h}有4个元素，则 （1）从集合A到集合B可以建立_____________个不同的映射. （2）从集合B到集合A可以建立_____________个不同的映射. 解析：要想建立一个从A到B的映射，必须使集合A中的每一个元素都能在B中有唯一确定的元素与之对应.因此，要使A中5个元素均找到象，必分5步完成.首先看A中元素a在B中有象的可能有4种，其他同样用分步原理求解. 根据映射定义，以及分步计数原理可得

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（1）可建立起4×4×4×4×4=4（个）不同的映射；

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（2）可建立起5×5×5×5=5（个）不同的映射.

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答案：（1）4 （2）5

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