正定矩阵的性质及应用

摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。

关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用

前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。

1.正定矩阵的基本性质

1.1 正定矩阵的定义

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有 X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。

1.2 正定矩阵的性质

当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即：

（1）aii＞0，i=1，2，……，n；

（2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；

（3） ≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式；

（4） ≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立；

而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中

都会有一定的涉及，值得我们给予重视。

推论1：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵；

推论2：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而满秩的实线形替换不改变实二次型的正定性；

推论3：若A，B∈Mn（K）都是正定矩阵，则A+B，kA也是正定的（k>0）；

推论4：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的维数n；

推论5：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E；

推论6： A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。

1.3 正定矩阵的判定

对于正定矩阵的判定，除了依据正定阵的定义、性质以及推论，还可以参考下列两种方法进行，即：

（1）霍尔维兹定理判别法

计算A 的各阶主子式，若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。

也就是，对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即 ；

对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即：

。这个定理就霍尔维兹定理。

（2）特征值判定法

求出A 的所有特征值，若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。

例2.3-1 判定对称矩阵A的正定性。

2.正定矩阵的应用

正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣。对正定矩阵的研究，主要集中在理论研究与工程应用方面。

2.1 判别二次型的正定性

判别二次型正定性的方法之一就是利用对称矩阵A 的正定性，即：若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f是正定二次型；若A是负定的，则f也是负定二次型。

例2.1-1 判别二次型f=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz的正定性。

解：f的矩阵是

，A的各阶主子式为

2.2 控制系统稳定性的判定

讨论系统: ，若 ，其中， 。

对上述系统，存在正定矩阵P，使得二次型函数V(x)=xTPx成为Lyapunov函数，且沿任意状态轨线：

成立的充要条件为：存在适当λ>0和正定阵Q>0，使得Riccati方程 有正定解P，其中ε为适当常数。

详细的例证分析此处不再赘述，但我们仍然可以看到，正定矩阵对于控制系统稳定性的判定有着很好的辅助性，可以将繁琐的理论计算转化为对矩阵是否正定的判定上，从而保证了计算的快速性与准确性。