物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响.现如今.复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.

复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分.它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.

1.2 复变函数在通信工程方面的研究现状

人类的生活离不开信息交流，尤其在信息化高度发达的今天，信息传输与人们的生产和生活更是密切相关.通信目前已成为学术界研究的热门课题，然而在对通信研究的同时，大家不能忽视一个重要的部分---数学在通信中的应用.数学推动着通信的发展，它将抽象的信息、信号等概念具体化，便于人类研究.信号是信息传输技术的工作对象，而信号主要是用函数表示，这使得信号的各种变换更加形象化.另外，数学中的极限、微积分（方程），数理逻辑，Fourier变换，Laplace变换，线性代数等知识以及数形结合、分类讨论等数学思想在通信中都起到了至关重要的作用，因此数学与通信息息相关.

复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广.可以解决一些复杂的计算问题.在物理领域的应用更是显而易见的，诸如流体力学、电磁学等领域.在通信工程中，复变函数目前更多地体现在信号与系统的学习过程中.连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用Fourier级数及Fourier变换.而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了Laplace变换的性质.作为复变函数中重要的Fourier变换和Laplace变换，我们足以看到复变函数在信号即通信中的实用性和研究深度. 1.2.1函数的应用

在信号传输系统中传输的主体是信号，系统所包含的各种电路、设备则是为实施这种传输的各种手段.信号是随着时间变化的物理量，一般可以表示为一个以时间为自变量的函数.所以在信号分析中，信号与函数二词常相通用.

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1.2.2信号的分类

信号可按照不同的函数形式进行分类：当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值.这样的信号是确定信号，反之称为随机信号.如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，这信号就称为连续信号.和连续信号相对应的是离散信号.离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值.用确定的时间函数表示的信号，又可分为周期信号和非周期信号. 1.2.3信号的简单处理

所谓对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号.基本的处理有叠加、相乘、平移，反褶、尺度变换微分与积分等.用函数图形表示如下： (1) 相加与相乘

(2) 自变量的变换（波形变换） a、平移（时移或移位）

-1x(t) 1 1 x(t-t0) x(t+t0) 1 O 1 t -1+t0 O t01+t 0 t -1-t0 -t0 O1-t0tb、压缩与扩展

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(3) 微分与积分 微分

积分

1.2.4通信中常用的基本函数.

在通信中，基本的信号知识是分析信号与系统的基础.而基本信号大都可用

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数学的函数来表示，以下例举几个常见信号及其函数： （1）直流信号：f(t)?A(???t???) (2) 正弦信号：f(t)?Asin(?t??)

（3）有始信号：又称因果信号，指的是对某一时间点t0，当t?t0时，其值为零的信号.

（4）单位阶跃信号：?(t)??10t?0 t?0t?0,??(t)dt?1

??（5）单位冲激信号：?(t)?0（6）斜坡信号：r(t)??t0t?0 t?0（7）实指数信号：f(t)?Ae??t,(??0,t?0) （8）复指数信号：f(t)?Ae??t?j??t

?1?（9）矩形脉冲信号：g?(t)??0??（10）取样信号：Sa(t)?sint t????t???2? ????t???2?1.3 本文研究的主要内容和结构安排

本文通过将复变函数中的两个重要变换——Fourier变换和Laplace变换以及通信工程原理中的信号处理结合起来，探讨复变函数在通信工程中的应用.首先，引入Fourier积分和Fourier变换公式的来源，并结合数学函数实例体现其用法.然后再根据通信工程中的周期信号与非周期信号形式，将Fourier变换的用法体现在其实际应用中.除此之外，又由Fourier变换导出Laplace变换，并按照上述写作思路，继续描述Laplace在处理通讯信号中的应用.

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第二章 Fourier积分和Fourier变换

2.1 Fourier积分

在学习Fourier级数[2]的时候，我们已经知道，一个以为T周期的函数fT(t)TTTT如果在[?,]上满足Dirichlet条件（即函数在[?,]上满足：1，连续或只

2222TT有有限个第一类间断点；2，只有有限个极值点），那么在[?,]上就可以展成

22Fourier级数.在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为

a0? fT(t)=+?(ancosn?t?bnsinn?t). (2.1）

2n?12T2?其中 ??，a0??2TfT(t)dt，

T?2T2Tan??2TfT(t)cosn?tdt (n?1,2,3,?)，

T?22Tbn??2TfT(t)sinn?tdt (n?1,2,3,?).

T?2而对于Fourier级数的复指数形式为

1??TfT(t)??[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt.

Tn????2事实上，利用欧拉公式

ej??e?j?ej??e?j?cos??，sin??，

22j此时，（2.1）式可写为

ejn?t?e?jn?tejn?t?e?jn?ta0?fT(t)=+?[an?bn]

22j2n?1a0?an?jbnjn?tan?jbn?jn?t =??[e?e]，

2n?122a01T如果令c0???2TfT(t)dt,

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