T1T ?[?2TfT(t)cosn?tdt?j?2TfT(t)sinn?tdt]

?T?221T ?[?2TfT(t)[cosn?tdt?jsinn?t]dt

T?21T?jn?t ??2TfT(t)edt (n?1,2,3,?)，

T?2an?jbn1Tc?n???2TfT(t)ejn?tdt (n?1,2,3,?)，

2T?2而它们可以合写成一个式子

1Tcn??2TfT(t)e?jn?tdt (n?0,?1,?2,?3,?).

T?2若令 ?0?n? (n?0,?1,?2,?3,?),则（2.1）式可写为

fT(t)?c0??[cnen?1?j?nt?c?ne?j?nt]?n????ce?jn??nt ，

也即

1??T fT(t)??[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt . (2.2)

Tn????2对于非周期函数的展开问题，将在后文在通信工程中的应用给出.

2.2 Fourier变换

Fourier积分定理[2] 若f(t)在(??,??)上满足下列条件： 1.f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件； 2.f(t)在无限区间(??,??)上绝对可积（即积分

f(t)?12??????|f(t)|dt收敛），则有

?????[?????f(?)e?j?td?]ej?td? （2.3）

成立，则左端的f(t)在它的间断点t处，应以的条件是充分的.

f(t?0)?f(t?0)来代替.这个定理

2我们已经知道，若函数f(t)满足Fourier积分定理中的条件，则在f(t)的连

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1续点处，便有（2.1)式，即f(t)?2??[?????????f(?)e?j?td?]ej?td?成立.

从（2.1）式出发，设

F(?)??则 f(t)?????f(t)e?j?tdt （2.4）

??12????F(?)ej?td? （2.5）

从上面两式可以看出，f(t)和F(?)通过指定的积分运算可以相互表达.（2.4）式叫做f(t)的Fourier变换式，可记为

F(?)?F[f(t)].

F(?)叫做f(t)的象函数.（2.5）式叫做F(?)的Fourier逆变换式，可记为

f(t)?F?1[F(?)] .

f(t)叫做F(?)的象函数.

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第三章 Fourier变换在信号分析中的应用

通信系统[3]中所用到的信号是信息的载体和表达形式，也是传输、处理的对象.根据信号参数的确知程度，可将其分为确知信号和随机信号两大类.确知信号的特征是:无论是过去、现在还是未来的任何时间，其取值总是唯一确定的，如一个正弦波形，当幅度，角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号们就是一个完全确定的时间函数，其变换规律可以用确知的函数表达式进行描述.反之就是随机信号.

本章对常见确知信号及其变换进行介绍，将前述章节的数学理论运用于物理实践中.

3.1确知信号的频域特征

频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系.对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息.例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它方面1：颜色，长度，高度.方面2：排量，品牌，价格.而对于一个信号来说，它也有很多方面的特性.如信号强度随时间的变化规律（时域特性），信号是由哪些单一频率的信号合成的（频域特性）.

频域（频率域）——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图.频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系.

对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同.因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述.动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数，非周期信号靠Fourier变换. 3.1.1 周期信号的频谱分析

在复变函数理论中，任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数

fT(t)当T???是转化而来的.为了说明这一点，我们作周期为T函数fT(t)，使

TTTT其在[?,)之内等于f(t)，而在[?,)之外按周期T延拓到整个数轴上,如图

22221所示，很明显，当T越大，fT(t)与f(t)相等的范围也越大，这表明当T???时，

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周期函数fT(t)便可转化为f(t)，即有limfT(t)?f(t)

T??f(t) 图1 t

这样，在(2.2)式中令T???时，结果就可以看成是f(t)的展开式，即

1??Tf(t)?lim?[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt

T???T?n???2当n取一切整数时，?n所对应的点便均匀地分布在整个数轴上.若相邻点的距离以??n表示，即??n??n??n?1,或T?上式又可以写为

2?,则当T???时，有??n?0,所以??n1 f(t)?lim??n?02?n????[???T2T?2 fT(?)e?j?ntd?]ej?nt??n. （3.1）

1T当t固定时，[?2TfT(?)e?j?n?d?]ej?nt是参数?n的函数，记为?T(?n)，即

2??21T?T(?n)?[?2TfT(?)e?j?n?d?]ej?nt

2??2利用?T(?n)可将（3.1）式写成

f(t)?lim??0?0n???????T(?n)??n

很明显，当??n?0，即T???时，?T(?n)??(?n)，这里

?(?n)?1??[?f(?)e?j?n?d?]ej?nt . 2???从而f(t)可以看做是?(?n)在(??,??)上的积分

f(t)???(?n)d?n.

????即 f(t)???(?)d?.

????word文档 可编辑复制

1亦即 f(t)?2??[?????????f(?)e?j?t]ej?td?.

这个公式称为函数f(t)的Fourier积分公式.

对于在通信工程中，任何一个周期信号（周期为T），只要满足Dirichlet

条件，就可以展开为正交序列之和，即Fourier级数.周期信号的Fourier级数有三角形式和指数形式两种表达式，三角形式的Fourier级数表达式为

a0? f(t)???(ancosn?1t?bnsinn?1t) （3.2）

2n?1式中，?1?2?是信号基波分量的角频率，简称基频；an和bn称为Fourier系数；Ta0代表直流分量.由级数理论知，Fourier级数为

2T?a??0T?0f(t)dt?2T?a?f(t)cosn?1tdt n?1,2,?3, （3.3） ?n?0T?2T?b??nT?0f(t)sinn?1tdt?式（3.2）和式（3.3）表明任何满足Dirichlet条件的周期信号都可以分解为直流分量和一系列谐波分量的叠加，而各次谐波的分量的频率均为基频?1的整数倍.实际工程中遇到的周期函数大多满足Dirichlet条件.

指数形式的Fourier级数表达式为

f(t)?n????Fen??jn?1t

式中，复系数Fn为

1TFn??2Tf(t)e?jn?1tdt

T?2? -??t???A 22是n?1的函数，即F?F(n?).Fn实际上反映显然，f(t)??nn10 t为其他?? 了周期信号f(t)的Fourier级数表示式中频率为n?1的信号分量的幅度与相位，

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