解：利用周期信号的Fourier变换
1Fn??f(t)e?jn?tdt ?TT2???，故F(?)??Tn????12?32?12[4G1(t)?2G1(t?1)]e?jn?tdt?222sinn?n?4[2?(?1)n]
4sinn??n?4[2?(?1)n]?(??n?).
在一定条件下，非周期信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限.由上已知周期信号的Fourier变换式，当周期趋于无穷大时，可得非周期信号的Fourier变换式为
例6 （哈尔滨工业大学）半波余弦脉冲f(t)?Ecos换.
??t?j?t?t解：F(?)???Ecosedt??2?Ecoscos?tdt
????222?t?G?(t)的Fourier变??? ?2E?20??t??coscos?tdt?E?2[cos(??)t?cos(??)t]dt
0???sin(??)? ?E????sin(??)??2?E?2 ????????cos ?E[??2?cos????2?2E??2]?E?2
???1?(??)2??()2??2??2?cos??cos?????前述Fourier变换式给出了信号的时域特性与频域特性的一般关系.但还可以根据Fourier的性质得出两者间的若干特定关系.这些关系揭示了信号的时域特性和频域特性之间某些方面的重要联系.其常用的性质有 线性特性：若f1(t)?F2(j?),f2(t)?F2(j?)，则
a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?)
延时特性：若f(t)?F(j?)， 则f(t?t0)?F(i?)e?j?t0.
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移频特性：若f(t)?F(j?)，则f(t)e?j?ct?F(j??j?c) 尺度变换特性：若f(t)?F(j?)，则f(at)?1???F?j? a?a? 奇偶特性：若f(t)为t的偶函数，其频谱函数仅有实部，是?的实偶函数.即
F(j?)?R(?)??f(t)cos?tdt?2?f(t)sin?tdt.
??0??若f(t)为t的奇函数，其频谱函数仅有虚部，是?的虚奇函数.即
F(j?)??jX(?)??j?f(t)sin?tdt??j2?f(t)sin?tdt.
??0??对称特性：若f(t)?F(j?)则F(jt)?2??f(??)
如果f(t)为t的偶函数，其频谱函数是?的实偶函数即f(t)?F(j?)?R(?).
()?2?f()?或若f(??)?f(?)，则Rt1R(t)?f(?)；?jX(t)??2?f(?) 2?或j1X(t)?f(?). 2?微分特性：若f(t)?F(j?)， 则
df(t)?j?F(j?); dtt??积分特性：若f(t)?F(j?)，则 ?f(?)d???F(0)?(?)?域的微分与积分特性：若f(t)?F(j?)，则 ?jtf(t)??f(t)?f(0)?(t)?j??F(j?)d?;
??t1F(j?); j?dF(j?)及 d?卷积定理：若f1(t)?F1(j?) ，f2(t)?F2(j?)，则
f1(t)f2(t)?1?F1(j?)*F2(j?)?; 2?信号通过系统的频域分析法主要研究信号频谱通过系统后产生的变化.因为系统对不同频率的等幅正弦信号呈现的特性不同，因而对信号中各个频率分量的相对大小将产生不同的影响，同时各个频率分量也将产生不同的相移，使得各频率分量在时间轴上相对位置产生变化.叠加所得的信号波形也就不同于输入信号的波形，从而达到对信号的处理目的.
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第四章 Laplace变换及其简单应用
4.1 问题的提出
在上一章我们讲过，一个函数当它除了满足Dirichlet条件以外，还在
(??,??)内满足绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数都不
满足这个条件；其次，可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t作为自变量的函数往往在
t?0时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取Fourier变换.由此可见，Fourier变换的应用范围受到相当大的限制.那要怎么处理才能解决
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这个问题呢?
4.2 问题的解答
对于任意一个函数?(t)，能否经过适当地改造使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点呢？这就使我们想到了两个函数:单位阶跃函数u(t)和指数衰减函数e??t(??0)所具有的特点.用前者乘?(t)可以使积分区间由(??,??)换成
[0,??)，用后者乘?(t)就可能使其变得绝对可积，因此，为了克服Fourier变换
上述的两个缺点，我们自然会想到用u(t)e??t(??0)来乘?(t)，即
?(t)u(t)e??t (??0) 结果发现，只要?选得适当，一般来说，这个函数的Fourier变换总是存在的.对函数?(t)进行先乘以u(t)e??t(??0)，再取Fourier变换的运算，就产生了Laplace变换.
对函数?(t)u(t)e??t(??0)取Fourier变换，可得
G?(?)???(t)u(t)e??te?j?tdt???? =?其中
??0f(t)e?(??j?)tdt????
0f(t)edt?sts???j?， f(t)??(t)u(t) .
若再设
F(s)?G?(s??) .. j则得
F(s)????0f(t)e?stdt .
由此式所确定的函数F(s)，实际上是由f(t)通过一种新的变换得来的，这种变换我们称为Laplace变换.
4.3 Laplace变换在信号系统中的简单应用
设函数f(t)当t?0时有定义，而且积分
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???0f(t)e?stdt （s是一个复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为
F(s)????0f(t)e?stdt . （4.1）
我们称（4.1）式为函数f(t)的Laplace变换式.记为
F(s)?L[f(t)]
F(s)称为f(t)的Laplace变换（或称为象函数）.
若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为
f(t)=L-1[F(s)].
由（4.1）式可以看出，f(t)(t?0)的Laplace变换，实际上就是f(t)u(t)e??t的Fourier变换.
下面我们通过一个例题简单展示一下Laplace变换在周期信号中的应用.
0?t?b?t 例7 求周期三角波f(t)??且f(t?2b)?f(t)的Laplace变
b?t?2b ?2b?t 换.
f(t) b b 2b t 图5
解：根据Fourier变换的思路及形式，以及结合前述章节关于Laplace变换在信号处理中的理论有:
L[f(t)]????02bf(t)e?stdtf(t)edt???st4b2b ??0f(t)edt???st6b4bf(t)edt?????st2(k?1)b
2kbf(t)edt???stword文档 可编辑复制