华中农业大学本科课程考试

参考答案与评分标准

考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 试卷类型：B 考试日期：

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。） 1. 设随机变量X的概率密度p(x)?1，则Y?2X的分布密度为 . 【 b 】 2?(1?x)(a)

1121arctanx． ； (b) ； (c) ； (d) 222??(1?4x)?(4?x)?(1?x)2. 设随机变量序列x1, x2,…, xn…相互独立,并且都服从参数为1/2的指数分布,则

1n当n充分大时,随机变量Yn=?xi的概率分布近似服从 . 【 b 】

ni?1 (a) N(2,4) (b) N(2,4/n) (c) N(1/2,1/4n) (d) N(2n,4n)

3. 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3是总体X的一个 简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 C 】

（a）X1?X2?X3； （b）min(X1,X2,X3)； （c）?

i?13

Xi2?

2

； （d）X?2?．

4．在假设检验问题中，检验水平?意义是 ． 【 a 】 （a）原假设H0成立，经检验被拒绝的概率； （b）原假设H0成立，经检验不能拒绝的概率； （c）原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率； （d）原假设H0不成立，经检验不能拒绝的概率．

5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 d 】

（a）SSR越大，SSE越小； （b）SSE越小，回归效果越好； （c）r越大，回归效果越好； （d）r越小，SSR越大．

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二、填空题（将答案写在该题横线上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。） 1．设离散型随机变量X只取x1和x2两个可能值(且x1

方差D(X)=0.64, 则 x1= 1 , x2= 3 。

22．从10个数字0,1,2,3,…,9中任取两个数字,其和大于10的概率为16C10=0.356.

3. 设A,B为两个事件, P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B/A)=0.8, 则P(A∩B)= 0.2 . 4. 在单因素方差分析中，试验因素A的r个水平的样本总容量为n，则当原假设H0成

立时，SSA?2服从 X2(r?1) 分布，MSAMSE服从 F(r?1,n?r) 分布. 5. 在线性回归分析中，回归平方和的含义是 自变量x对响应变量y的影响程度 .

三、(10分，要求写清步骤及结果) .假设一条自动生产线生产的产品的合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ ( 附：Φ(1.64)=0.95，其中Φ(x)是标准正态分布函数。)

解：假设至少要生产n件产品，记X表示n件产品中合格品的数目，显然X~B(n,0.8).由题意，

应该确定生产产品数n，使其满足不等式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2 P?0.76?分）

??X?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ?0.84??0.90 ．

n?由De Moivre-Laplace定理，当n比较大时，X近似服从正态分布N(0.8n,0.16n)，故

?X?0.8n0.04n?X??P?0.76??0.84??P????2?(0.1n)?1?0.90，

n0.4n????0.4n即 ?(0.1n)?0.95. ．．．．．．．．．．．．．．．．．. ．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．（4由标准正态分布表，可得0.1n?1.64. 从而 n?268.96，因此n至少为269件.．．．．（2

分） 分）

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四、(10分，要求写清步骤及结果) 为估计鱼池内的鱼数,第一次捕了2000尾,做了记号再放回鱼池内,充分混和后再捕2000尾,结果发现500尾有记号,试用极大试然法估计鱼池内的鱼数。

解： 用Xi=?的第i条鱼有记号，?1，混合后从鱼池内捕出 i=1,2,…,2000.

?0，否则。x1?xi（2000N）（1?2000N）i 用N表示鱼池的鱼数, P{Xi=xi}=

2000 似然函数 Ｌ＝

i=1?（20002000xi1?xiN）（1?2000N）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（．4分）

2000x2000??i?xii?1（2000N）i?1（1?2000N）=

2000x2000(1?x)（1?2000N）

（2000N） ＝

取对数:ｌ＝ｌnＬ＝2000xｌn(2000/N)+ 2000(1?x)ｌn(1?2000/N) ．．．．．．．．．．（2分）

dl12000= ?2000 x+2000(1?x)=0, ．．．．．．．．．．．．（2分）

NdNN(N?2000)求导数:

得: N=

^20002000?=8000. ．．．．．．．．．．．．（2分） 500/2000x【第 3 页 共 7 页】