勾股定理的逆定理 （3）

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

. 图18－2－9

10.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

图18 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD，

4试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3

图18－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形. 二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半. 由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D. 答案：D

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）. 2－10

参考答案

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积.

图18－

图18－2－8

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论

解：过D点作DE∥AB交BC于E,

图18－2－4

则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形， ∴AB=DE.

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∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.

又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得，DE=∴AB=

这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.

图18－2－7

思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC中,

BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2. 所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°. 因此这个零件符合要求.

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可. 证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边. ∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,

∴△ABC是直角三角形. 二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）. 解：略

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

10?5?53 cm.

2210?5?53 cm.

223.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6

思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=答案：2S3?12?23.

3

14.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，

4试判断△EFC的形状.

思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：∵E为AB中点，∴BE=2. ∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.

同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. ∵CE2+EF2=CF2,

∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－8

思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可. 证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2. ∴△ABC是直角三角形.

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB

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是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

又∵a2+b2=169=c2, ∴△ABC是直角三角形.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

图18－2－9

思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可. 解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20, AB2=AC2+BC2=12+32=10, ∴OA2+AB2=OB2.

∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.

10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC

的形状.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.

答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.

11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0, 配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0. ∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0. ∴a－5=0,b－12=0,c－13=0. 解得a=5,b=12,c=13.

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求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10

思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）, ∴DE=AB=4，BE=AD=3. ∵BC=6,∴EC=EB=3. ∵DE2+CE2=32+42=25=CD2, ∴△DEC为直角三角形. 又∵EC=EB=3,

∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2, ∴△BDA是直角三角形. 它们的面积分别为S1△BDA=

2×3×4=6;S1△DBC=2×6×4=12. ∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.

勾股定理的应用（4）

1.三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。

2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？

C3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）米。

（ ）米。

6、 在△ABC中，∠C=90°,AB=10。 (1)若∠A=30°,则BC= ，AC= 。(2)若∠A=45°,

则BC= ，AC= 。

8、在△ABC中，∠C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m 11、三角形的三边a b c，满足(a?b)24、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是

求EC的长。

3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点已知AB=8cm，BC=10cm，DF处，

?c2?2ab，则此三角形是 三角形。

12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向

AB东走80米后又向 方向走的。

4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？

2

2

2

2

13、?ABC中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线AD=12cm则 AC的长为 cm

14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行，

5秒钟后他们相距 米.

15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴两直线平行，内错角相等。 （ ） ⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。

（ ） ⑶若a2小牧A 小B

北 3=4+5，5=12+13，7=24+25 9=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？ （1）填空：13= + （2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

2

东

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

A?b2 ，则a=b （ ）

⑷全等三角形的对应角相等。 （ ） ⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （ ）

DBC

16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）

7.在数轴上画出表示 17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）

(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: (C) a=2 b=

3: 2

8.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积

68 c= (D) a=13 b=14 c=15 5528 D.10或28

17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是( ). A.8 B.10 C. D_ A_ 1．求图中格点四边形ABCD的面积。 D9.如图，每个小方格的边长都为

18、下列各命题的逆命题不成立的是( )

C_ B

_ C

勾股定理复习题（5）

A A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等

C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=0,那么a2一、填空、选择题题：

B?b2

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