3.2 均值不等式
1.了解均值不等式的证明过程.
2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点) 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 均值不等式
阅读教材P69～P71，完成下列问题. 1.重要不等式
如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”). 2.均值不等式ab≤
2
2
a＋b2
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 3.算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
a＋b2
，几何平均数为ab；
(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a＋b≥2ab，a＋b≥2ab均成立.( ) 4
(2)若a≠0，则a＋≥22
2
aa·＝4.( ) a4
(3)若a>0，b>0，则ab≤?
2
2
?a＋b?2
?.( ) ?2?
a＋b2
≥ab成立的条件是相同的.( )
(4)两个不等式a＋b≥2ab与
(5)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.( )
【解析】 (1)×.任意a，b∈R，有a＋b≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立.
2
2
4
(2)×.只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2aa·＝4成立. a4
(3)√.因为ab≤
a＋b2
2
，所以ab≤?
2
?a＋b?.
??2?
a＋b2
≥ab成立的条件是a，
2
(4)×.因为不等式a＋b≥2ab成立的条件是a，b∈R；而b均为非负实数.
(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 教材整理2 均值不等式的应用
阅读教材P70例1～P71例3，完成下列问题. 用均值不等式求最值的规律
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( ) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( ) (3)当x>1时，函数f(x)＝x＋2
1
≥2x－1
xx－1
，所以函数f(x)的最小值是
xx－1
.( )
(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.( ) 1＋
(5)若x，y∈R，且x＋4y＝1，则xy的最大值为.( )
16【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知. (2)√.因为ab≤
a＋b4
2
＝＝2，所以ab≤4. 2
11
＝(x－1)＋＋x－1x－1
(3)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋1≥2
x－
1
＋1＝3. x－1
1
，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3. x－1
当且仅当x－1＝
2
(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时， m＋n取到最小值18.
m＋n2
≥mn＝9，
?1?＝1，所以x·y≤1. ＋
(5)√.因为x，y∈R，而4xy≤?＝???16?2??2?4
11
当且仅当x＝4y，即x＝，y＝时取等号.
28
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
?x＋4y?22
[小组合作型]
利用均值不等式比较代数式的大小 (1)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a＋b＋c与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是______.
(2)给出下列命题： 1
①若x∈R，则x＋≥2；
222x②若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b； 1
③若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；
ab④不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________. 【精彩点拨】 (1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想均值不等式求解.
(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件. 【自主解答】 (1)∵a，b，c互不相等， ∴a＋b＞2ab，b＋c>2bc，a＋c>2ac. ∴2(a＋b＋c)>2(ab＋bc＋ac). 即a＋b＋c>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
1
(2)只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋≥22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yxxyxx·＝2，故①错误；当a>0，x3
1