2007年考研数学一真题

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）

（1） 当x?0时，与x等价的无穷小量是 ( ) A. 1?ex? B.ln1?x C. 1?x?1 D.1?cosx

1?x(2) 曲线y=

1?ln(1?ex), 渐近线的条数为 ( ) xA.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=A. F(3)=??x0f(t)dt .则下列结论正确的是 ( )

3535F(?2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=?F(2) D. F(3)= ?F(?2) 4444(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f（0）=0 B. 若lim 存在，则f（0）=0

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)''C. 若lim 存在，则f(0)=0 D. 若lim 存在，则f(0)=0

x?0x?0xxA. 若lim(5)设函数（fx）在（0, +?）上具有二阶导数，且f\x)?o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若u1?u2，则{un}必收敛 B. 若u1?u2，则{un}必发散 C. 若u1?u2，则{un}必收敛 D. 若u1?u2，则{un}必发散

(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.

?(x,y)dx B. ?rrf(x,y)dy C.

?rf(x,y)ds D.

?rf'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

（7）设向量组?1，?2，?3线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A）

?1??2,?2??3,?3??1 （B） ?1??2,?2??3,?3??1

（C） ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 （D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????（8）设矩阵A=??12?1?，B=?010?，则A于B ( )

??1?12??000?????(A) 合同，且相似

(C) 不合同，但相似

(B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?，则此人第4次射击恰好第

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2次命中目标的概率为： ( ) （A）3p(1?p)2 (C) 3p2(1?p)2

(B)6p(1?p)2 (D) 6p2(1?p)2

(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX（A）fX(x)

(B) fY(y)

|Y(x|y)为 ( )

(C) fX(x)fY(y)

(D)

fX(x) fY(y)二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）

?2111exdx＝_______. 3x?z＝______. ?xyx（12）设f(u,v)为二元可微函数，z?f(x,y)，则

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y＝____________. (14)设曲面

?：|x|?|y|?|z|?1，则

????(x?|y|)ds＝_____________.

?0?0? (15)设矩阵A＝?0??0100001000??0?3

，则A的秩为________. 1??0?1的概率为________. 2（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)（本题满分11分）求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。

(18)(本题满分10分)计算曲面积分I???xzdydz?2xydzdx?3xydxdy,?2

y2其中?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧.4第 - 2 - 页 共4 页

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(19)(本题是11分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值， f(a)?g(a),f(b)?g(b)证明：存在??(a,b)，使得f''(?)?g''(?).(20)(本题满分10分)设幂级数?anxn在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足n?0?y''?2xy'?4y?0,y(0)?0,y'(0)?12an,n?1,2,?;n?1(2)求y(x)的表达式.(1)证明an?2?

(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0?2?x1?4x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1

(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记B?A?4A?E其中E为3阶单位矩阵

53(1)

(2)有公共解，求a的值及所有公共解.(I)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量； (II)求矩阵B.

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