1/2?10?X2?因为Q?X11/2X2Born to win
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?4。
X1?5dXdX2100100100，从而2??2，MRTS12???2X1dX1X1dX1X1（2）根据上题，MRTS12?MPMP11?4，因此MRTS12?在本题中是成立的。如果生产MP2MP2MP1。 MP21/2函数不是连续函数，则MRTS12未必等于
（3）令??1，则有：Q??X1,?X2????X1???X2?1/2??Q?X1,X2?，因此这一生产函数
是规模报酬不变的。
（4）证明：长期中厂商成本最小化问题为：
minP1X1?P2X2?X1?X2X1,X2s.. tX1/21X2?101/2
构造拉格朗日函数：
1/21/2L?X1,X2,???X1?X2???10?X1X2?
成本最小化的一阶条件为：
1/2?L?1?0.5?X1?1/2X2?0 ?X11/2?L?1/2?1?0.5?X1X2?0 ?X21/21/2?L?10?X1X2?0 ??有上述三式可得：X1?X2?10。
因此，在长期中最优要素投入为X1?X2?10。
211．确定当生产函数f?X1,X2??100?X1?X2??20X1X2?12.5?X12?X2?是递增的和严格
凹的时，它的定义域。
解：生产函数首先要求投入要素量为非负。 递增条件要求f1?0，f2?0，即：
f1?100?20X2?25X1?0 f2?100?20X1?25X2?0
从而得到0.8X1?4?X2?1.25X1?5。 凹函数要求，f11?0，f22?0，f11f22?f122。
由于f11??25?0，f22??25?0，f11f22?625?f122?400，本题中是满足的。 综上可知，在定义域为0.8X1?4?X2?1.25X1?5且X1和X2非负的条件下，该生产函数递增且是严格凹函数。
b12．假设一生产函数，f?x??x1ax2。
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产出弹性之和。
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（1）求出其替代弹性?。
（2）如果将要素的产出弹性定义为?i??f?x?/f?x??xi/xi，试证明：规模弹性e?x?为要素的
bf1ax1a?1x2ax解：（1）由f?x??xx可得：?ab?1?2，即：
f2bx1x2bx1ab12?f??x??a?ln?1??ln???ln?2?
?b??f2??x1??f1?f2??x2?dln????x1??。 ?所以得：dln?从而替代弹性为：
??dln?x2/x1?dln?MRTS1,2??d?x2/x1?f1/f2dln?f1/f2????1
d?f1/f2?x2/x1dln?x2/x1?可见，对于任意的C-D生产函数，其替代弹性恒为1。 （2）该生产函数为?a?b?次齐次函数，规模弹性：
e?x??limt?1df?tx?/f?tx?dt/t?limt?1df?tx?dtd?tx1x2?tt??lim?a?babf?tx?t?1dttx1x2a?bab
??tb ?lim??a?b?ta?b?1x1ax2?a?bab??a?bt?1tx1x2??对生产函数作变形，有：lnf?x1,x2??alnx1?blnx2。 根据产出弹性的定义可得：
?1??2??f?x?/f?x??x1/x1?lnf?x1,x2??lnx2???lnf?x1,x2??lnx1?f?x?/f?x??x2/x2?a ?b
所以，e?x???1??2，因此得证。
13．给定CES生产函数Q??KP?LP?1/P，其中，Q为产出，K、L分别为资本和劳动的
投入量。
（1）证明该企业规模收益不变。 （2）资本和劳动的边际产量为多少？
（3）劳动对资本的边际技术替代率是多少？ （4）证明资本和劳动的产出弹性之和等于1。
（5）把这个企业分为两个相同的企业，分立之后产出之和与原企业的产出有什么变化？详细写出演算过程。
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产函数，规模收益不变。
PP解：（1）由于Q?f??K,?L?????K????L??1/PBorn to win
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????Q，可见该生产函数为一次齐次生
11?Q1PPP?1P?1P?1PPP?1（2）资本的边际产量为：MPK????K?L??PK?K??K?L?；
?KP11?Q1PPP?1P?1P?1PPP?1劳动的边际产量为：MPL????K?L??PL?L??K?L?。
?LP（3）劳动对资本的边际技术替代率为：MRTSL,K（4）劳动的产出弹性为：
dKMPL?L???????dLMPK?K?P?1。
1?Q/Q?QL1PPP?1EL??????K?L??PLP?1??L/L?LQPL?KP?LP?1PLP?P K?LP资本的产出弹性为：
1?Q/Q?QK1PPP?1EK??????K?L??PKP?1??K/K?KQPK?KP?LP?1PKP?P K?LPLP?KP所以，EL?EK?PP?1。
K?L（5）若把该企业分为两个相同的企业，则两个企业拥有的资本和劳动投入量分别为原
来的一半，则企业拆分后的总产量为：
1??K??L????1???1?PPPQ总?2????????2??????K?L??2????Q?Q
?2?????2??2?????2???PP1PP1P因此，在规模报酬不变的条件下，企业分立之后产出之和与原企业的产出相等。
14．（1）试证明欧拉定理：对任何k次（k?0）齐次生产函数f?X?，总有：
kf?X???i?fxi ?xi??（2）用生产函数f?x1,x2??Ax1x2（A、?、??0）验证欧拉定理。
解：（1）对于k次齐次生产函数，?t?0，f?tX??tkf?X?。等式两边同时对t微分，有 ktk?1f?X???i?f?tx???txi?xi。令t?1，即可得到欧拉定理的表达式kf?X???i?fxi。 ?xi??x2（A、?、??0）显然是?????次齐次生产函数。由生（2）生产函数f?x1,x2??Ax1产函数可得：
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?f??1??A?x1x2 ?x1?f???1?A?x1x2 ?x2所以有：
?f?f?x1??x2??????f?x1,x2?。 ?x1?x2以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果
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