张军《西方经济学学习精要与习题集》(第4章 生产技术) 下载本文

1/2?10?X2?因为Q?X11/2X2Born to win

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?4。

X1?5dXdX2100100100,从而2??2,MRTS12???2X1dX1X1dX1X1(2)根据上题,MRTS12?MPMP11?4,因此MRTS12?在本题中是成立的。如果生产MP2MP2MP1。 MP21/2函数不是连续函数,则MRTS12未必等于

(3)令??1,则有:Q??X1,?X2????X1???X2?1/2??Q?X1,X2?,因此这一生产函数

是规模报酬不变的。

(4)证明:长期中厂商成本最小化问题为:

minP1X1?P2X2?X1?X2X1,X2s.. tX1/21X2?101/2

构造拉格朗日函数:

1/21/2L?X1,X2,???X1?X2???10?X1X2?

成本最小化的一阶条件为:

1/2?L?1?0.5?X1?1/2X2?0 ?X11/2?L?1/2?1?0.5?X1X2?0 ?X21/21/2?L?10?X1X2?0 ??有上述三式可得:X1?X2?10。

因此,在长期中最优要素投入为X1?X2?10。

211.确定当生产函数f?X1,X2??100?X1?X2??20X1X2?12.5?X12?X2?是递增的和严格

凹的时,它的定义域。

解:生产函数首先要求投入要素量为非负。 递增条件要求f1?0,f2?0,即:

f1?100?20X2?25X1?0 f2?100?20X1?25X2?0

从而得到0.8X1?4?X2?1.25X1?5。 凹函数要求,f11?0,f22?0,f11f22?f122。

由于f11??25?0,f22??25?0,f11f22?625?f122?400,本题中是满足的。 综上可知,在定义域为0.8X1?4?X2?1.25X1?5且X1和X2非负的条件下,该生产函数递增且是严格凹函数。

b12.假设一生产函数,f?x??x1ax2。

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产出弹性之和。

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(1)求出其替代弹性?。

(2)如果将要素的产出弹性定义为?i??f?x?/f?x??xi/xi,试证明:规模弹性e?x?为要素的

bf1ax1a?1x2ax解:(1)由f?x??xx可得:?ab?1?2,即:

f2bx1x2bx1ab12?f??x??a?ln?1??ln???ln?2?

?b??f2??x1??f1?f2??x2?dln????x1??。 ?所以得:dln?从而替代弹性为:

??dln?x2/x1?dln?MRTS1,2??d?x2/x1?f1/f2dln?f1/f2????1

d?f1/f2?x2/x1dln?x2/x1?可见,对于任意的C-D生产函数,其替代弹性恒为1。 (2)该生产函数为?a?b?次齐次函数,规模弹性:

e?x??limt?1df?tx?/f?tx?dt/t?limt?1df?tx?dtd?tx1x2?tt??lim?a?babf?tx?t?1dttx1x2a?bab

??tb ?lim??a?b?ta?b?1x1ax2?a?bab??a?bt?1tx1x2??对生产函数作变形,有:lnf?x1,x2??alnx1?blnx2。 根据产出弹性的定义可得:

?1??2??f?x?/f?x??x1/x1?lnf?x1,x2??lnx2???lnf?x1,x2??lnx1?f?x?/f?x??x2/x2?a ?b

所以,e?x???1??2,因此得证。

13.给定CES生产函数Q??KP?LP?1/P,其中,Q为产出,K、L分别为资本和劳动的

投入量。

(1)证明该企业规模收益不变。 (2)资本和劳动的边际产量为多少?

(3)劳动对资本的边际技术替代率是多少? (4)证明资本和劳动的产出弹性之和等于1。

(5)把这个企业分为两个相同的企业,分立之后产出之和与原企业的产出有什么变化?详细写出演算过程。

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产函数,规模收益不变。

PP解:(1)由于Q?f??K,?L?????K????L??1/PBorn to win

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????Q,可见该生产函数为一次齐次生

11?Q1PPP?1P?1P?1PPP?1(2)资本的边际产量为:MPK????K?L??PK?K??K?L?;

?KP11?Q1PPP?1P?1P?1PPP?1劳动的边际产量为:MPL????K?L??PL?L??K?L?。

?LP(3)劳动对资本的边际技术替代率为:MRTSL,K(4)劳动的产出弹性为:

dKMPL?L???????dLMPK?K?P?1。

1?Q/Q?QL1PPP?1EL??????K?L??PLP?1??L/L?LQPL?KP?LP?1PLP?P K?LP资本的产出弹性为:

1?Q/Q?QK1PPP?1EK??????K?L??PKP?1??K/K?KQPK?KP?LP?1PKP?P K?LPLP?KP所以,EL?EK?PP?1。

K?L(5)若把该企业分为两个相同的企业,则两个企业拥有的资本和劳动投入量分别为原

来的一半,则企业拆分后的总产量为:

1??K??L????1???1?PPPQ总?2????????2??????K?L??2????Q?Q

?2?????2??2?????2???PP1PP1P因此,在规模报酬不变的条件下,企业分立之后产出之和与原企业的产出相等。

14.(1)试证明欧拉定理:对任何k次(k?0)齐次生产函数f?X?,总有:

kf?X???i?fxi ?xi??(2)用生产函数f?x1,x2??Ax1x2(A、?、??0)验证欧拉定理。

解:(1)对于k次齐次生产函数,?t?0,f?tX??tkf?X?。等式两边同时对t微分,有 ktk?1f?X???i?f?tx???txi?xi。令t?1,即可得到欧拉定理的表达式kf?X???i?fxi。 ?xi??x2(A、?、??0)显然是?????次齐次生产函数。由生(2)生产函数f?x1,x2??Ax1产函数可得:

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?f??1??A?x1x2 ?x1?f???1?A?x1x2 ?x2所以有:

?f?f?x1??x2??????f?x1,x2?。 ?x1?x2以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分,限于篇幅原因,如果

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