混沌系统的电路实现与仿真分析

1. 设计思路

混沌系统模块化设计方法的主要思路是，根据系统的无量纲状态方程，用模块化设计理念设计相应的混沌电路，其中主要的模块包括：反相器模块、积分器模块、反相加法比例运算模块和非线性函数产生模块。 2. 设计过程

第一步，对混沌系统采用Matlab进行数值分析，观察状态变量的时序图、相图，观察系统状态变量的动态范围；

第二步，对变量进行比例压缩变换。我们通常取电源电压为±15V，集成运放的动态范围为±13.5V，如果系统状态变量的动态范围超过±13.5，则状态变量的动态范围超过了集成运放的线性范围，需要进行比例压缩变换，如没有超出，则不需要进行变换。 举例：变换的基本方法

?x?k1u?y?kv?2 代入原状态方程，然后重新定义u?x，v?y，w?z得到的状态方程即??z?k3w???为变量压缩后的状态方程。

第三步，作时间尺度变换。将状态方程中的t变换为?0t，其中?0为时间尺度变换因子，设?0=1/R0C0，从而将时间变换因子与积分电路的积分时间常数联系起来。

第四步，作微分-积分变换。

第五步，考虑到模块电路中采用的是反相加法器，将积分方程作标准化处理。 第六步，根据标准积分方程，可得到相应的实现电路。

第七步，采用Pspice仿真软件或Multisim仿真软件对电路进行仿真分析。

3. 设计举例：Lorenz系统的电路设计与仿真

Lorenz系统的无量纲归一化状态方程为

???ax?ayx??cx?xz?y （1） y???xy?bzz其中当a=10，b=8/3，c=28时，该系统可以展现出丰富的混沌行为。

MATLAB仿真程序如下：

function dx=lorenz(t,x) %?¨ò?oˉêy a=10; b=8/3;c=28; %?¨ò??μí32?êy %***************************************** dx=zeros(3,1); dx(1)=a*(x(2)-x(1));

dx(2)=c*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dx(3)=x(1).*x(2)-b*x(3);

%*********************************?¨ò?×′ì?·?3ì clear;

options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-6,1e-6,1e-6]); t0=[0 500]; x0=[1,0,0];

[t,x]=ode45('Lorenz',t0,x0,options); n=length(t);

n1=round(n/2);

figure(1);

plot(t(n1:n),x(n1:n,1)); %×′ì?xμ?ê±Dòí?

xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); ylabel('x1','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal');

figure(2);

plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3)); %x-z?àí?

xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('Z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');

figure(3);

plot3(x(n1:n,1),x(n1:n,2),x(n1:n,3)); %x-y-z?àí?

xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('y','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');

zlabel('z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic')；

20151055045403530252015x1-5-10z300350400450500010-15-2025050-20-15-10-505101520tx

504030z2010040200-20-10-40-2010020yx

图1 lorenz系统的时序图和相图

由于状态变量的范围超过了±13.5，所以先必须进行变量压缩，按均匀压缩10倍进行处理

后得到的状态方程为

???10x?10yx??28x?10xz?y （2） y??10xy?(8/3)zz作时间尺度变换，令?=?0t，?0=100，得

???1000x?1000x(?y)???2800 y(?x)?1000xz?100y （3）???1000z(?x)y?(800/3)z