§1.4.1-2 全称量词、存在量词

学习目标 1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；

2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）

复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假： （1）2是有理数； （2）5不是15的约数 （3）8?7?15 （4）空集是任何集合的真子集

复习2：判断下列命题的真假，并说明理由： （1）p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数； （2）p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数； (3) p?q，这里p：2?3，q：8?7?15； (4) p?q，这里p：2?3，q：8?7?15.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：全称量词的意义

问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）x?3； （2）2x?1是整数； （3）对所有的x?R,x?3；

（4）对任意一个x?Z，2x?1是整数.

2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ (1)2x?1?3；

(2)x能被2和3整除；

（3）存在一个x0?R，使2x0?1?3； （4）至少有一个x0?Z，x0能被2和3整除.

新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用

符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：?x?M,p(x)，读作：

2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并

用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题. 其基本形式?x0?M,p(x0)，读作：

试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海； （2）0不能作为除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个非零向量都有方向.

反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结

构形式. ※ 典型例题

例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）?x?R,x2?1?1；

（3）对每一个无理数x，x2也是无理数.

变式：判断下列命题的真假： （1）?x?(5,8),f(x)?x2?4x?2?0 （2）?x?(3,??),f(x)?x2?4x?2?0

小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中每一个元素x验证

p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x?x0，

使得p(x0)不成立即可.

例2 判断下列特称命题的真假： （1） 有一个实数x0，使x02?2x0?3?0； （2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3） 有些整数只有两个正因数.

变式：判断下列命题的真假： (1)?a?Z,a2?3a?2 (2)?a?3,a2?3a?2

小结：要判定特称命题“?x0?M,p(x0)” 是真命题只要在集合M中找一个元素x0，

使p(x0)成立即可；如果集合M中，使P(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题. ※ 动手试试

练1. 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）?x?{x|x是无理数}，x2是无理数.

练2. 判定下列特称命题的真假： （1）?x0?R,x0?0；

（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）?x0?{x|x是无理数}，x02是无理数.

三、总结提升 ※ 学习小结

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

※ 知识拓展

数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。