第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题10—1

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I??Lxds，其中L是圆x2?y2?1中A(0,1)到B()．

11,?)之间的一段劣弧； 22解: (1?

12yA（2）(x?y?1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及

L?CoB(0,1)所成三角形的边界；

解:?(x?y?1)ds?3?22．

LxB （3）解:??Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?x；

Lx2?y2ds?2．

（4）

? Lx2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),

D(1,2,3)；

解:

2228xyzd?s5． ? L32zB(0,0,2)C(1,0,2)D(1,2,3)2 求八分之一球面x?y?z?1(x?0,y?0,z?0)的边界曲线的重心，设曲线的密度??1。

?444?解 故所求重心坐标为?,,?．

?3?3?3??A(0,0,0)yx

习题10—2

1 设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明

1

?Q(x,y)dy?0。

L证明：略.

2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）解 :

?Lxydx，其中L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。

4。 5

?Lxydx?（2）

? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中L是曲线y?1?1?x从对应于x?0时的点到

x?2时的点的一段弧；

解

（3）

? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?4． 3?L ydx?xdy,L是从点A(?a,0)沿上半圆周x2?y2?a2到点B(a,0)的一段弧；

解 ?ydx?xdy?0.

L

（4）?xy2dy?x2ydx，其中L沿右半圆x2?y2?a2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0)L到终点B(0,?a)的路径；

解 （5）解

?Lxy2dy?x2ydx???4a4。

?L x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB；

?Lx3dx?3zy2dy?x2ydz?87?t3dt??1087。 4?x2?y2?1 ,（6）I??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，L为椭圆周?且从z轴

Lx?y?z?2 ,?正方向看去，L取顺时针方向。

解: ??2?。

习题10—3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

2

?x?acos3t , (1) 星形线?） (0?t?2?)；3?y?asint ,解: ??a。

(2) 圆x?y?2by，（b?0）； 解: ??b。

2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) 方向；

解: ?18?。 (2)

222382??L(y?x)dx?(3x?y)dy，其中L是圆(x?1)2?(y?4)2?9，方向是逆时针

Lydx?(3siny?x)dy，其中L是依次连接A(?1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线

段，方向是顺时针方向。

解 :2 . (3)

?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中m为常数，L为圆x2?y2?2ax上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向弧； 解 : ?11m?a2?0?m?a2。 22xdy?ydx224x?y?1，取逆时，其中为椭圆L?Lx2?y2y(4) 针方向；

0(0,0)2?oA(2a,0)x解 ??d??2?．

0(5)

?u?u2222u(x,y)?x?yx?y?6x，其中，为圆周取逆时针方向，是dsL?L?n?n?uds?36?。 L?nu沿L的外法线方向导数。

解 ?

3 证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值: (1)

?(2,1)(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy；

?P?Q?1?在整个?y?x解 令P?2x?y，Q?x?2y，则

yB(2,1)3

OA(2,0)x