求得。

（2）存在三个应变张量不变量

I1、I2、I3，且

222I1??x??y??z??1??2??3I2??[(?x?y??y?z??z?x)?(?xy??yz??zx)]??(?1?2??2?3??3?1)?x?xy?xz?100I3??yx?y?yz?0?20??1?2?3?zx?zy?z00?3对于塑性变形，由体积不变条件，

?

I1?0

（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为

?12??(?1??2)12，

?23??(?2??3)12，

?31??(?3??1)12

若

?1≥?2≥?3，则最大切应变为

12

（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量

?max??(?1??3)??x??m??ij???yx???zx???ij?m??ij?xy?xz???m00?????y??m?yz???0?m0??00???zy?z??m?m???

式中，

?m?(?x??y??z)??ij13为平均应变；

为应变偏张量，表示变形单元体形状变化；

?ij?m为应变球张量，表示变形单元体体积变化。

（5）存在应变张量的等效应变

???2323(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2222

2=36I2

等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变

?1。等效应变

11

又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。

（6）与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。设已知主应变

?1、?2

p2(???????和3的值，且1>2>3，可以在

平面上，分别以

p1(?1??22，0)、

?1??32，0)、

p3(?2??32，0)为圆心，以

r1??1??22、

r2??1??32、

r3??2??32为半径画三个圆。

5. 小应变几何方程和变形协调方程各如何表示？它们有何意义？ 答：小应变几何方程：

1?u?v??u????(?)?xyyx?x?2?y?x?x?1?v?w??v?yz??zy?(?)??y?2?z?y??y1?w?u??w?zx??xz?(?)??z?2?x?z? ?z

物理意义：表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。

变形协调方程：

物理意义：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。

6. 速度分量、位移增量、应变增量和应变速率增量是如何定义的？

答：速度分量：在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量；

位移增量：物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量； 应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量；

应变速率增量：单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度。在时间间隔dt内产生的应变应变速率增量。

7. 对数应变有何特点？它与相对线应变有何关系？ 答：对数应变特点：

?2?x????zx??xy??yz(??)???x?y?z?x?y?z??2?y????xy??yz??zx?(??)???y?z?x?y?z?x??2?z????yz??zx??xy?(??)??z?x?y?z?x?y??d?ij为

12

对数应变适用于大变形；

叠加性 设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到 l3，则总的对数应变为各分量对数应变之和，即

?

??dllllllll?ln3?ln(1?2?3)?ln1?ln2?ln3l0ll0l0l1l2l0l1l2l3

= ? 1+ ? 2+ ? 3

对应的各阶段的相对应变为

?01?l1?l0l0?12?；

l2?l1l1?23?；

l3?l2l2

显然，

?03??01??12??23

这表明，对数应变具有可叠加性，而相对应变不具有可叠加性。

（3）可比性 对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。

拉长一倍时

??ln?

2l0?ln2l0

压缩一半时

??ln ?

0.5l0??ln2l0

负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为

???

2l0?l0?100％l0

??? 因而，相对应变为不可比应变。

0.5l0?l0??50％l0

8. 平面应变状态、轴对称应力状态各有什么特点？ 答：平面变形状态下的应力状态有如下特点：

⑴没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，

?z为中间主应力，在塑性

状态下，

?z等于平均应力，即

?z??2?(?x??y)??m12

⑵由于应力分量同。

?x、?y、?xy沿z轴均匀分布，与z轴无关，所有平衡微分方程与平面应力问题相

⑶如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成：

13

??x?xy?ij????yx?y?00???x??y?20????0????yx?z????0???xy??x??y20?0????m00????0???0?m0???00?m???0???

?0?0????m0??0???0?m0??00?m?????0???

???10??ij??0?2??00?或

????2??10??2?0????yx???1??2???02????xy??1??2209. 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为

u?(20?0.2xy?0.1z)?10?3 v?(10?0.1x?0.2yz)?10?3

w?(20?0.2xyz)?10?3试求：点Ａ（１，１，－１）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、主应

变、等效应变

1?u?v??u????(?)?xyyx?x?2?y?x?x?1?v?w??v?yz??zy?(?)??y?2?z?y??y1?w?u??w????(?)??z?zxxz2?x?z?来求得应变分量 ?z 解：由几何方程

??m?0?1?m?(?x??y??z)?03根据公式和应变球张量表达式?量

0?m00?0???m??求球

??x??m???yx??zx再根据??xy?xz???y??m?yz??zy?z??m??I3来求应变偏张量

II先求三个应变张量不变量1 2

代入特征方程

?3－I1?2－I2?－I3?0可求。 ?1， ?2， ?3

14

?然后根据

23(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2

可求等效应变

10. 试判断下列应变场能否存在：

（1）（2）

?x?xy2,?y?x2y,?z?xy,?xy?0,?yz?(z2?y),?zx?(x2?y2)1212

?x?x2?y2,?y?y2,?z?0,?xy?2xy,?yz??zx?0

第十六章 思考与练习 1. 解释下列概念

条件应力；真实应力；理想塑性；弹塑性硬化；刚塑性硬化；Tresca屈服准则；Mises屈服准则；屈服轨迹；?平面；等向强化。

??2?10答：条件应力：室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸（??3/S）标准试样，记录下来的拉

伸力P与试样标距的绝对伸长?l之间的关系曲线称为拉伸图。若试样的初始横截面面积为

A0，标距长为

l0，则条件应力?0

?0?

PA0，

真实应力 试样瞬时横截面

A上所作用的应力Y称为真实应力，亦称为流动应力。

Y?PA

屈服准则是材料质点发生屈服而进入塑性状态的判据，也称为塑性条件。

Tresca屈服准则：1864年法国工程师H. Tresca提出材料的屈服与最大切应力有关，即当材料质点中最大切应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。或者说，质点处于塑性状态时，其最大切应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件，当σ1＞σ2＞σ3时，则

?1－?3

2＝C 或

?1??3??s

密塞斯（Von Mises）屈服准则：即当等效应力 达到定值时，材料质点发生屈服。材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。表达式如下：

??1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?C2

常数C根据单向拉伸实验确定为σs，于是Mises屈服准则可写成：

(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?2?s2

2. 如何用单向拉伸试验绘制材料的真实应力-应变曲线？有哪些常见的简化形式？ 答： ①真实应力 试样瞬时横截面

A上所作用的应力Y称为真实应力，亦称为流动应力。

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