Y?PA （16-2）
由于试样的瞬时截面面积与原始截面面积有如下关系：
A(l0??l)?A0l0
Y?所以 ②真实应变 设初始长度为
P(1??)??0(1??)A0 （16-3）
l0的试样在变形过程中某时刻的长度为l，定义真实应变为
l?ln(1??)l0??ln
（16-4）
③真实应力-应变曲线 在均匀变形阶段，根据式（16-3）和（16-4）将条件应力-应变曲线直接变换成真实应力-应变曲线，即Y??曲线，如图16-2所示。在b点以后，由于出现缩颈，不再是均匀变形，
上述公式不再成立。因此，b点以后的曲线只能近似作出。一般记录下断裂点k的试样横截面面积下式计算k点的真实应力-应变曲线。
AK，按
YK? 这样便可作出曲线的bk段。
''PKAK??ln,
A0AK （16-5）
但由于出现缩颈后，试样的形状发生了明显的变化，缩颈部位应力状态已变为三向拉应力状态，实验表明，缩颈断面上的径向应力和轴向应力的分布如图16-3。颈缩边缘处受单向拉伸应力Y作用，中心处轴向拉伸应力大于Y，这一由于出现缩颈而产生的应力升高现象，称为“形状硬化”。因此，必须加以修正。齐别尔（E. Siebel）等人提出用下式对曲线的b?k?段进行修正，即
??YK
YKd1?8? （16-6）
式中，
??YK是去除形状硬化后的真实应力 （MPa）；d是缩颈处直径（mm）；是缩颈处试样外形的曲
率半径（mm）。
从图16-2可看出，Y??曲线在失稳点b后仍然是上升的，这说明材料抵抗塑性变形的能力随应变的增加而增加，即不断地硬化，所以真实应力-应变曲线也称为硬化曲线。由÷有四种常见的形式。
16
图16-3上的应力分布
图16-2 拉伸实验曲线 a) 条件应力-应变曲线 b) 真实应力-应
3. 单向拉伸塑性失稳点的特性是什么？如何用此特性确定硬化曲线的强度系数和硬化指数？
Yb?答：在失稳点b处
dYd
Y上式的意义如图教材16-4，表示在曲线Y??上，失稳点所作的切线的斜率为b，该斜线与横坐标轴
的交点到失稳点横坐标的距离为??1。
大多数工程金属在室温下都有加工硬化，其真实应力-应变曲线近似于抛物线形状，如图16-5a，可用指数方程表达。
Y?B?n
（16-8）
式中，B是强度系数；n是硬化指数。
B和n的值可用失稳点的特性确定如下，对上式求导数，得
dY?nBdn?1
n?1bdY?Yb?nBd根据失稳点的特性
nY?B?bb又有
比较上述两式，可得
17
n??b，
B?Yb?b?b
4. 理想塑性材料两个常用的屈服准则的物理意义?中间主应力对屈服准则有何影响？
答：如已知三个主应力的大小顺序时，设为σ1＞σ2＞σ3时，则Tresca屈服准则只需用线性式
?1??3??s就可以判断屈服。但该准则未考虑中间主应力σ
2
的影响，而Miss屈服准则考虑了σ2对质
???3???s 其中
点屈服的影响。1??223???为应力修正系数。所以Miss屈服准则与Tresca屈
?服准则在形式上仅相差一个应力修正系数。当???1 ?＝1时，两准则一致，这时的应力状态中有两
?向主应力相等，当??0 ?＝1.155时，两准则相差最大，此时为平面变形应力状态。
两个屈服准则的统一表达式为 对于Tresca屈服准则，
?1－?3＝2K
K＝0.5?s ;对于Mises屈服准则，K＝（0.5?0.577）?s
100MPa，试分别用屈雷斯加及密塞斯准则判断下列应力状态处5. 某理想塑性材料的屈服应力为?s＝于什么状态（是否存在、弹性或塑性）。
00??10000??15000??12000??50????????000050001000?500?????????00100??0????050?000?000???????（MPa） ①,②,③,④
?1??2＝?s?2??3??s解：根据屈雷斯加准则
?3??1??s时就发生屈服，
根据密塞斯准则
??1??2?2???2??3?2???3??1?2?2?S2 或
1????1??2?2???2??3?2???3??1?2?1???S23E 6E
①
???1＝100 ?2＝0 ?3＝100
100-0＝100发生屈服，
（100-0）＋（0-100）＋（100-100）＝20000＝2②
222?s2发生屈服
?1＝150 ?2＝50 ?3＝50
150-50＝100发生屈服
18
（150-50）＋（50-50）＋（150-50）③
2222?＝20000＝2s发生屈服
?1＝120 ?2＝10 ?3＝0
??s
222120-0＝120
（120-10）+（10-0）+（120-0）＝26600该力不存在 ④
?2?s2
?1＝50 ?2＝-50 ?3＝0
50-（-50）＝100＝
2?s发生屈服
22（50+50）+（50-0）+（0+50）6. 一薄壁管（参见图16-11），内径
??＝150002s2处于弹性状态
?80 mm，壁厚4mm，承受内压
p，
材料的屈服应力为?s?200MPa，
现忽略管壁上的径向应力（即设
???0）。试用两个屈服准则分别求出下列情况下管子屈服时的
p；
（1）
管子两端自由; （2） 管子两端封闭; （3）管子两端加100KN的压力。
解：（1）当两端自由 由于
??可以忽略为0 两端自由
???0
??＝
显然
p2r2t＝
prt?0
?1＝?s＝
prt ，
?2＝?z＝0， ?3＝??＝0
prt＝
Mises准则：P=20 MPa
??1＝?s 即 ?s＝200 MPa 代入可得
Tresca准则
?1－?3＝?s p=20 MPa
prt
(2)当管子两端封闭时：
?z＝
pr2t，
??＝
?1＝??＝
prt，
?2＝?z＝
pr2t ，?3＝??＝0
3prMises准则：P=23.09 MPa
2t?＝s?P=
23?t?sr 代入可得
prTresca准则：
t?-0＝s?p=
t?rr 代入数据可得 p=20.0 MPa
19
(3)当管子两端加100KN的 压力时：
p?r2?1?105?z＝
2?rt?0
?prpr?＝
t?0 ? ?1＝??＝
t?0
p?r2?1?105?2＝??＝0； ?3??z＝
2?rt
由密塞斯屈服准则：
??221??2?2???2??3????3??1??2?2s
prp?r2?1?105?0p?r2?1?105pr ?（
t）2＋（
2?rt）2＋（
2?rt－
t）
2＝2?2s
代入数据得： p?13 MPa
?pr?p?r2?1?105??s由屈雷斯加屈服准则:
????z=?s t2?rt
?pr2t=200-100=100 MPa
?p?10 MPa
故p=10 MPa
7. 图16-12所示的是一薄壁管承受拉扭的复合载荷作用而屈服，管壁受均匀的拉应力?和切应力?，试写出下列情况的屈雷斯加和密塞斯屈服准则表达式。
（提示：利用应力莫尔圆求出主应力，再代入两准则）
?22???22?????????（答案 屈雷斯加准则：???s??4??????s??1??；密塞斯准则：???s???3???????s???1）
解：由图知：
?x＝? ?y＝0 ???＝?
由应力莫尔圆知：
?1???x??y2?(?x??y2)2??2xy3
??2??1＝2?4??2
?2＝0
???2?2
?3＝24?
图16-12 受拉扭复合的薄
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