奥数--特殊解题方法(含解题思路) 下载本文

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特殊解题方法

【穷举法】 解答某些数学题,可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况,不重复不遗漏地全部列举出来,以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。

例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线, 从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从 甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线?(如图) 分析:从甲地到乙地有3条路线,从乙地 到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达 丙地共有下列不同的路线。 解:3×4=12 答:共有12条路线。

例2 如果一整数,与1、2、3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,能使结果等于24,那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中,可用的有_______个。

分析:根据题意,用列式计算的方法,把各算式都列举出来。

4×(1+2+3)=24 (5+1+2)×3=24 6×(3+2-l)=24 7×3+1+2=24 8×3×(2-1)=24 9×3-1-2=24 10×2+l+3=24 11×2+3-l=24 12×(3+1-2)=24

通过计算可知,题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。 答:可用的数有9个。

例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数,其中能被5整除的三位数有_________个。

分析:根据题中所给的数字可知:三位数的百位数只能有三种选择: 十位数在余下的三个数字中取一个数字,也有3种选择; 个位数在余下的两个数字中取一个数字,有2种选择。

解:把能排成的三位数穷举如下,数下标有横线的是能被5整除的。

305, 307, 350, 357, 370, 375;503, 507, 530, 537, 570, 573; 703, 705, 730, 735, 750, 753

答:能排成18个三位数,其中能被5整除的有10个数。 例4 数一数图3.30中有多少个大小不同的三角形? 分析:为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的 三角形,可以把三角形分成A、B、C、D四类。

A类:是基本的小三角形,在图中有这样的三角形16个;

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B类:是由四个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上,一个尖朝下。

C类:是由九个小三角形组成的三角形, 在图中有这样的三角形3个,尖都朝上。 D类:是最大的三角形,图中只有1个。

解:16+7+3+1=27(个)

答:图中有大小不同的三角形共27个。

【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆,解题时把握不定,还有些数学题是要求两个(或几个)数量间的等量关系或者倍数关系,但已知条件却十分抽象,数量关系又很复杂,凭空思索,则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白,可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值,以利于探索解答问题的规律,正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。

给哪一个未知量设数,要便于快速解题。为了使计算简便,数字尽可能小一点。在分数应用题中,所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知,就给单位“1”设具体数值。

例1 判断下列各题。(对的打√,错的打×) (1)除1以外,所有自然数的倒数都小于1。( ) (2)正方体的棱长和它的体积成正比例。( )

以上各数的倒数都小于1,就能猜测此题的说法是正确的。

第(2)小题,给正方体的棱长设数,分析棱长的变化与其体积变化的规律。 棱长 体积 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 ... ... 由上表看出,正方体的棱长扩大2倍,体积扩大8倍;棱长扩大4倍,体积扩大64倍……这不符合正比例的含义,就能断定此题的说法是错误的。

1例2 六年级同学中,男生人数比女生人数多,女生人数比男生少几分之几?

3分析:先把女生人数看作单位“1”,假定女生人数为60人,

1男生人数则为60?(1?)?80(人)

3 女生人数比男生人数少几分之几,则为(80?60)?80?1 4通过设数分析,理清了数量关系,找到了解题线索,便能顺利地列出综合算式。

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11111?1??? 解:?60?(1?)?60???60?(1?)?? 或(1??1)?(1?)?

33433?4??? 答:女生人数比男生人数多

1. 4例3 某人骑自行车从A地往B地.去时用了1.2小时,沿原路回家时,速度

1比原来加快,那么需要多少小时?

3分析:这道题似乎条件不够,不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系,给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。

1假设去时每小时走20千米,那么A、B两地的路程就是:20?1?24(千米)

5180 沿原路回家的速度则为:20?(1?)?(千米)

33 回家时所需的时间则为:24?解:把全路程看作单位“1”.

809?(小时) 310???11?91?1?9(小时)或20?1??20?(1?)??1???(1?)??(小时)

15?3?103?10?1?5?答:回家需要

9小时. 10例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的42%,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。

分析:题中没有给出具体数量,且数量关系错综复杂,不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“ 1”,给乙校学生人数假定一个具体数值,这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人,则甲校学生为:500×40%= 200(人) 由甲校女生数是甲校学生数的30%,则甲校女生数为:200×30%=60(人) 由乙校男生数是乙校学生数的42%,则乙校女生数为:500×(1-42%)=290(人) 两校学生总数为:500+200=700(人)两校女生总数为:60+290=350(人) 则两校女生总数占两校学生总数的百分比为:350÷700=50% 解:[500×40%×30%+500×(1-42%)]÷(500+200) =[60+290] ÷700 =350÷700

=50% 或[40%×30%+(1-42%)]÷(1+40%)=50% 答:两校女生总数是两校学生总数的50%.

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例5 如图3.32,正方形面积为20平方厘米,求阴影部分的面积。

分析:一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径,再求圆面积,然后用正方形的面积减去圆面积,即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1,运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几,再计算阴影部分的面积。 设正方形的边长为1,正方形的面积则为:12=1 圆的半径则为:0.52=0.25

圆面积占正方形面积的百分比为: 3.14×0.52÷12=0.785=78.5%

阴影部分的面积占正方形面积的百分比为:1-78.5%=21.5% 由此可知阴影部分的面积为:20×21.5%=4.3(平方厘米) 解:设正方形的边长为1,则阴影部分的面积为

20×(1-3.14×0.52÷12)=20×21.5%=4.3(平方厘米) 答:阴影部分的面积为4.3平方厘米。

{注意:如果把正方形的边长设为其它数,计算的结果都是相同的。} 【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似,从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是富于创造性的一种思维方法,在小学数学中有着广泛的应用。例如,分数和比都含有相除的意义,我们根据除法的商不变性质,类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时,遇到问题A和问题B有许多类似的属性,见到问题B时就会联想到问题A,于是可以用解决问题A的办法去解决问题B,或者用解决问题B的办法去解决问题A。 例1 从时针指向3点整开始,经过多少分钟,分针正好与时针重合? 分析:此题与追及问题相类似。如果把钟面上1分钟的距离作为1格,则1小

51时分针走60格,时针走5格。那么分针走1格,时针就走格(即格).

601211111?.格就是分针与时针行走的速度差,121212正3点时分针与时针相隔15格,求经过多少时间分针与时针重合,实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题.

因此,每分钟分针比时针多走:1?解:15?(1?1114)?15??16(分钟) 1212114分钟,分针与时针重合. 11答:经过16例 2 A、B、C、D、E、F、G7个站,每两站间都是相隔 600米。问从A站到G站的路程是多少米?

分析:不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200(米)。此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似,把7个站看成7棵树,根据

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段数比棵树少1的道理解答此题。 解:600×(7-1)=3600(米)

答:从A站到G站的路程是3600米。

例3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴,如果他买了6台手风琴后,把剩下的钱全部买提琴,可以买多少把提琴? 分析:题中没有给出王老师带了多少钱,以及提琴和手风琴的单价等条件,怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢?可是仔细一想,便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一共带的钱数看作“ 1”,则每台手风琴的单价就是

1112,每把提琴的单价就是,买6台手风琴后剩下的钱就是1??6?.由此1050105便可求出剩下的钱能买多少把提琴.

解:(1?112?6)???50?20(把) 10505 答:可以买20把提琴.

此题还可用解正比例应用题的方法来解答,把题意转化为:“买10台手风琴的

钱与买50把提琴的钱相等,买4台手风琴的钱可以买多少把提琴?” 解:设可以买x把提琴,由题意得

10∶4=50∶x x?4?50 10x =20

答:可以买20把提琴。

【尝试法】解答某些数学题,可以先根据题意对题目的答案进行猜测,然后把猜测的答案试一试,看这个答案是否符合题意。如果符合,则问题就得到解决。如果不符合,就得对答案进行调整,或者重新猜测,直到找出正确的答案为止。这种解题方法就是尝试法,或者叫做试验法。

例1 把0、4、6、、7、8、9这六个数字,分别填入下面算式的方框内,每个方框只许填一个数字,使每个等式都成立。

分析:比较两个等式,先填第二个等式有利于快速解题。根据所给出的数字来分析,能使第二个等式成立的情况有两种:6×9=54 7×8=56

如果把 6×9=54填入第二个等式,那么还剩下0、7、8三个数字,经过多次试验,这三个数字不可能使第一个等式成立。说明应重新调整。

把7×8=56填入第二个等式,那么还剩下0、4、9三个数字,把这三个数字填入第一个等式,能使第一个等式成立,问题便得到解决。