数理方程习题综合 下载本文

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例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程vxy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e/ex(ev/ey) =xy 两边对x 积分,得 vy =¢(y)+1/2 x2Y,

其中¢(y)是任意一阶可微函数。进一步地,两边对y积分,得方程得通解为 v(x,y)=∫vydy+f(x)=∫¢(y)dy+f(x)+1/4 x2y2 =f(x)+g(y)+1/4 x2y2

其中f(x),g(y)是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2

即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),

其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L的均匀柔软富有弹性的细弦,平衡时沿直线拉紧,在受到初始小扰动下,作微小横振动。试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是OXU,弦的平衡位置为x轴,弦的长度为L,两端固定在O,L两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。由于弦做微小横振动,故ux≈0.因此α≈0,cosα≈1,sinα≈tanα=ux≈0,其中α表示在x处切线方向同x轴的夹角。下面用微元法建立u所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧MM',考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明,张力T是一个常数,即T与位置x和时间t的变化无关。

事实上,因为弧振动微小,则弧段MM'的弧长

?s??x??xx21?uxdx≈?x。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke定律,张力T与

时间t无关。

因为弦只作横振动,在x轴方向没有位移,故合力在x方向上的分量为零,即 T(x+?x)cosα’-T(x)cosα=0.

由于co'sα’≈1,cosα≈1,所以T(X+?x)=T(x),故张力T与x无关。于是,张力是一

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个与位置x和时间t无关的常数,仍记为T.

作用于小弧段MM'的张力沿u轴方向的分量为 Tsinα’-Tsinα≈T(ux(x+?x,t)-ux(x,t)).

设作用在该段弧上的外力密度函数为F(x,t)那么弧段MM'在时刻t所受沿u轴方向的外力近似的等于F(x,t)?x.由牛顿第二定律得

T(ux(x+?x,t)-ux(x,t)+F(x,t)?x=ρutt?x,

其中ρ是线密度,由于弦是均匀的,故ρ为常数。这里utt是加速度utt在弧段MM'上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得

Tuzz(x+θ?x,t)?x+F(x,t)?x=ρutt?x, 0<θ<1. 消去?x,并取极限?x→0得 Tuxx(x,t)+F(x,t)=ρutt, 即

utt=ɑuxx+?(x,t), 00,

其中常数ɑ=T/ρ,函数?(x,t)=F(x,t)/ρ表示在x处单位质量上所受的外力。 上式表示在外力作用下弦的振动规律,称为弦的强迫横振动方程,又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时,即?=0时,方程称为弦的自由横振动方程。

类似地,有二维波动方程

utt=ɑ(uxx+uyy)+?(x.y.t), (x,y)??,t>0,

222电场E和磁场H满足三维波动方程

?2E?2H22?c?E和2?c2?2H, 2?t?t其中c是光速和

?2?2?2????????2?2?2。

?x?y?z2例1.2.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S(图1.2)。以函数u(x,y,z,t)表示

物体在t时刻,M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier热传导定律,在无穷小时段dt内流过物体的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,曲面面积dS以及物体温度u沿曲面的外法线n的方向导数三者成正比,即

-k?udSdt?n,

其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数,取正值。我们规定外法线n方向所

指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当

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?u?0时,热量实际上是向-n方向流去。?n对于Ω内任一封闭曲面S,设其所包围的空间区域为V,那从时刻出的热量为

t2

t到时刻t12经曲面流

Q1=-???kt1S?udSdt ?n设物体的比热容为c(x,y,z),密度为ρ(x,y,z),则在区域V内,温度由u(x,y,z,t1)到u(x,y,z)所需的热量为

Q2????c?u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dv?????c?Vt1V??t2?udvdt. ?t根据热量守恒定律,有

Q2??Q1

t2???c??u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)?dv????kVt1S?udSst ?n假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z具有二阶连续偏导数,关于t具有一阶连续偏导数,那么由高斯公式得

t2????[c?t1V?u???u????u????u???k???k???k?]dvdt?0. ?????t?x??y??y??y??z??z?由于时间间隔?t1,t2?及区域V是任意的,且被积函数是连续的,因此在任何时刻t,在Ω内任意一点都有

c??u???u????u????u???k????y??k?y????z?k?z??x?y??y??????

(1.2.6)

方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的,此时k,c及ρ均为常

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