.
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程vxy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 vy =￠（y）+1/2 x2Y,
其中￠（y）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y积分，得方程得通解为 v（x,y）=∫vydy+f（x）=∫￠（y）dy+f（x）+1/4 x2y2 =f（x）+g（y）+1/4 x2y2
其中f（x）,g（y）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2
即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),
其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是OXU,弦的平衡位置为x轴，弦的长度为L，两端固定在O,L两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。由于弦做微小横振动，故ux≈0.因此α≈0，cosα≈1,sinα≈tanα=ux≈0,其中α表示在x处切线方向同x轴的夹角。下面用微元法建立u所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧MM',考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T是一个常数，即T与位置x和时间t的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段MM'的弧长
?s??x??xx21?uxdx≈?x。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke定律，张力T与
时间t无关。
因为弦只作横振动，在x轴方向没有位移，故合力在x方向上的分量为零，即 T(x+?x)cosα’-T(x)cosα=0.
由于co'sα’≈1，cosα≈1,所以T(X+?x)=T(x),故张力T与x无关。于是，张力是一
Word 资料
.
个与位置x和时间t无关的常数，仍记为T.
作用于小弧段MM'的张力沿u轴方向的分量为 Tsinα’-Tsinα≈T(ux(x+?x,t)-ux(x,t)).
设作用在该段弧上的外力密度函数为F（x,t）那么弧段MM'在时刻t所受沿u轴方向的外力近似的等于F(x,t)?x.由牛顿第二定律得
T（ux(x+?x,t)-ux(x,t)+F(x,t)?x=ρutt?x,
其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。这里utt是加速度utt在弧段MM'上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得
Tuzz（x+θ?x，t)?x+F(x,t)?x=ρutt?x, 0<θ<1. 消去?x，并取极限?x→0得 Tuxx（x,t）+F(x,t)=ρutt, 即
utt=ɑuxx+?(x,t), 0
其中常数ɑ=T/ρ，函数?（x,t）=F(x,t)/ρ表示在x处单位质量上所受的外力。 上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时，即?=0时，方程称为弦的自由横振动方程。
类似地，有二维波动方程
utt=ɑ（uxx+uyy）+?（x.y.t）, (x,y)??,t>0,
222电场E和磁场H满足三维波动方程
?2E?2H22?c?E和2?c2?2H, 2?t?t其中c是光速和
?2?2?2????????2?2?2。
?x?y?z2例1.2.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S（图1.2）。以函数u(x,y,z,t)表示
物体在t时刻，M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier热传导定律，在无穷小时段dt内流过物体的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS以及物体温度u沿曲面的外法线n的方向导数三者成正比，即
-k?udSdt?n,
其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n方向所
指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当
Word 资料
.
?u?0时，热量实际上是向-n方向流去。?n对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为V，那从时刻出的热量为
t2
t到时刻t12经曲面流
Q1=-???kt1S?udSdt ?n设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V内，温度由u(x,y,z,t1)到u(x,y,z)所需的热量为
Q2????c?u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dv?????c?Vt1V??t2?udvdt. ?t根据热量守恒定律，有
Q2??Q1
即
t2???c??u（x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)?dv????kVt1S?udSst ?n假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得
t2????[c?t1V?u???u????u????u???k???k???k?]dvdt?0. ?????t?x??y??y??y??z??z?由于时间间隔?t1,t2?及区域V是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内任意一点都有
c??u???u????u????u???k????y??k?y????z?k?z??x?y??y??????
(1.2.6)
方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c及ρ均为常
Word 资料