科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W＝Flcos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等．
一、求解变力做功的几种方法 －
法1.用公式W＝Flcos α求变力做功
－F1＋F2
如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F＝来计
2算变力做功，其中F1为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力．
【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( )
A．(3－1)d B．(2－1)d C.
5－12
d D.
2d 2
kdkd＋kd＋d′－－
【解析】 根据题意可得W＝F1d＝d，W＝F2d′＝d′，联立解得d′
22
＝(2－1)d(d′＝－(2＋1)d不符合实际，舍去)，故选项B正确．
【答案】 B
法2.用图象法求变力做功
在F - x图象中，图线与x轴所围的“面积”的代数和表示F做的功．“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t图象求位移的原理相同．
【典例2】 用质量为5 kg的均匀铁索，
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从10 m深的井中吊起一质量为20 kg的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g取10 m/s)
【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： －250＋200F＝N＝225 N
2
－
故该过程中拉力做功：W＝Fh＝2 250 J.
250＋200
方法二 由F - h图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W＝×10
2J＝2 250 J.
【答案】 2 250 J
法3.用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F的方向始终与速度的方向相同，要求F做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
2
【典例3】 如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．
【解析】 质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δln)＝2πRF.
【答案】 2πRF.
变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块
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缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．
解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝
0＋F40
x1＝×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W222
＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.
答案：20 J 变式训练2
如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s.求这一过程中：
(1)拉力F做的功； (2)重力G做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
解析：(1)将圆弧A⌒B分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、
2
Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2
＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)π
＝Fcos 37°·R＝20π J＝62.8 J.
3
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J.
(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0. 答案：(1)62.8 J (2)－50 J (3)0 二、摩擦力做功的情况 1．静摩擦力做功的特点：
(1)静摩擦力可以对物体做正功(静摩擦力为动力)，也可以做负功(静摩擦力为阻力)，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零． 2．滑动摩擦力做功的特点：
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