第2课时 数列的综合问题
题型一 数列与函数
n＋1
例1数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2(1)求a1的值；
＋1，n∈N＋，且a1，a2＋5，19成等差数列．
(2)证明?n＋1?为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
?2?
(3)设bn＝log3(an＋2)，若对任意的n∈N＋，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围． 解 (1)在2Sn＝an＋1－2
n＋1n?an?
＋1，n∈N＋中，
令n＝1，得2S1＝a2－2＋1，即a2＝2a1＋3，① 又2(a2＋5)＝a1＋19，② 则由①②解得a1＝1.
??2Sn＝an＋1－2＋1， ③
(2)当n≥2时，由?n?2Sn－1＝an－2＋1，④?
n＋1
2
③－④得2an＝an＋1－an－2，
nan＋13?an?
则n＋1＋1＝?n＋1?， 22?2?a23?a1?又a2＝5，则2＋1＝?1＋1?.
22?2?
?an?33
∴数列?n＋1?是以为首项，为公比的等比数列，
22?2?
an3?3?n－1nn∴n＋1＝×??，即an＝3－2. 22?2?
(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2)＝n. 当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时， 即(1－λ)n＋(1－2λ)n－6<0(n∈N＋)恒成立． 设f(n)＝(1－λ)n＋(1－2λ)n－6(n∈N＋)，
当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件； 当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立； 1－2λ当λ>1时，由于对称轴n＝－<0，
2?1－λ?则f(n)在[1，＋∞)上单调递减，
2
2
nf(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞)． 思维升华数列与函数的交汇问题
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．
跟踪训练1(2018·葫芦岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a2n＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．
解 (1)由a1＝1，
2
an＋11
＝，an≠0， an2
1
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
2
?1?n－1
∴an＝??.
?2?
?1?2n∴bn＝2－log2??＝2n＋2.
?2?
(2)由(1)得，Tn＝n＋3n，
∴m≥－2n＋6n对任意正整数n都成立． 设f(n)＝－2n＋6n，
2
2
2
?3?292
∵f(n)＝－2n＋6n＝－2?n－?＋，
?2?2
∴当n＝1或2时，f(n)的最大值为4， ∴m≥4.
即m的取值范围是[4，＋∞)． 题型二 数列与不等式
2
12Sn例2已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
22Sn－1
?1?
(1)求证：数列??是等差数列；
?Sn?
111
(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1.
23n2Sn证明 (1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，整理得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)，
2Sn－1
?1?
∴－＝2，从而??构成以2为首项，2为公差的等差数列． SnSn－1?Sn?
2
11
111(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.
SnS12n11
∴当n＝1时，Sn＝<1，
n2
1111
方法一 当n≥2时，Sn＝2<· n2n2n?n－1?11?1
－?＝??， 2?n－1n?
1111111?1111－?∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn<＋?1－＋－＋…＋＝1－<1. ?n－1n?23n22?2232n∴原不等式得证． 方法二 当n≥2时，
1?111?1
－<＝??， 22
2n2?n－1?4?n－1n＋1?111∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn
23n1111?11111
－＋<＋?1－＋－＋－＋…＋
n－2n24?32435
11?－ n－1n＋1??
1?11?11＝＋?1＋－－?， 24?2nn＋1?11?1?7<＋?1＋?＝<1. 24?2?8∴原命题得证．
思维升华数列与不等式的交汇问题
(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．
跟踪训练2已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝
11
，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. bnbn＋253
1
(1)解 设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d， 由题意得1＋d＝1＋q，q＝2(1＋2d)－6， 解得d＝q＝2， 所以an＝2
n－1
2
，bn＝2n－1.
1
＝ bnbn＋2?2n－1??2n＋3?1
(2)证明 因为cn＝
1?1?1－＝??，
4?2n－12n＋3?
1??1??11?
所以Tn＝??1－?＋?－?＋…＋
4??5??37?
?1－1?＋?1－1?? ?2n－32n＋1??2n－12n＋3???????
11?1?1
－＝?1＋－
32n＋12n＋3?4??1?11?1
＋＝－??，
34?2n＋12n＋3?
1?1?11＋因为?>0，所以Tn<. ?4?2n＋12n＋3?3又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增， 1
所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，
511所以≤Tn<.
53
题型三 数列与数学文化
例3 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”( )
A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤 答案 D
解析 原问题等价于等差数列中， 已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值． 由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝6，