a1＋a5
a3＝＝3，
2
则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤．
思维升华我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式． 跟踪训练3中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中12
都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{an}的前n项和Sn＝n，n∈N＋，等比
4数列{bn}满足b1＝a1＋a2，b2＝a3＋a4，则b3等于( ) A．4B．5C．9D．16 答案 C
12
解析 由题意可得b1＝a1＋a2＝S2＝×2＝1，
4
b2＝a3＋a4＝S4－S2＝×42－×22＝3， b23
则等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，
b11
故b3＝b2q＝3×3＝9.
1414
1．(2018·包头模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)若f(x)＝log1 x，设bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求数列??的前n项和Tn.
2?bn?
解 (1)由Sn＝－an＋1得Sn＋1＝－an＋1＋1， 两式相减得，Sn＋1－Sn＝－an＋1＋an， 即an＋1＝－an＋1＋an，即
an＋11
＝(n≥1)， an2
1
所以数列{an}是公比为的等比数列，
21
又由a1＝－a1＋1得a1＝，
2
所以an＝a1qn－1
?1?n＝??. ?2?
n?n＋1?
2
(2)因为bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an) ＝1＋2＋…＋n＝1所以＝
，
bn1?2?1
＝2?－?，
n?n＋1??nn＋1?
11??1111
所以Tn＝2?－＋－＋…＋－
nn＋1??1223?＝2?1－
?
?
1?2n＝. n＋1??n＋1
2．已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
?2n＋2?3
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n<.
2n＋Sn＋12(1)解 由a1＝0得an＝(n－1)d，Sn＝因为a2＋2，S3，S4成等比数列， 所以S3＝(a2＋2)S4， 即(3d)＝(d＋2)·6d，
整理得3d－12d＝0，即d－4d＝0， 因为d≠0，所以d＝4，
所以an＝(n－1)d＝4(n－1)＝4n－4. (2)证明 由(1)可得Sn＋1＝2n(n＋1)， ?2n＋2?4?n＋1?2
所以bn＝＝＝2＋
2n＋2n?n＋1?2n?n＋2?n?n＋2?1??1
＝2＋?－?，
?nn＋2?
1??1??11??1
所以Tn＝2n＋?1－?＋?－?＋…＋?－?
?3??24??nn＋2?111
＝2n＋1＋－－，
2n＋1n＋23
所以Tn－2n<. 2
3．已知二次函数f(x)＝ax＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N＋，数列{an}满足
1
2
2
2
2
2
22
2
n?n－1?d2
，
an＋1
?1?＝f′??，且a1＝4. a?n?
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n， 16na－4nb＝0， 1∴a＝，
2
12
则f(x)＝x＋2nx，n∈N＋.
2数列{an}满足
1
2
an＋1
?1?＝f′??， a?n?
又f′(x)＝x＋2n， ∴
1
an＋1an111＝＋2n，∴－＝2n，
an＋1an112
由累加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n－n，
an44
化简可得an＝2(n≥2)，
?2n－1?当n＝1时，a1＝4也符合， ∴an＝
4
2(n∈N＋)．
?2n－1?
4
?2n－1??2n＋1?
(2)∵bn＝anan＋1＝＝2?
?1－1?，
??2n－12n＋1?
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
??1??11??1－1?? ＝2??1－?＋?－?＋…＋?????3??35??2n－12n＋1??
＝2?1－
??
1?4n＝. ?2n＋1?2n＋1
4．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
解 (1)设数列{xn}的公比为q.
??x1＋x1q＝3，
由题意得?2
?x1q－x1q＝2.?
所以3q－5q－2＝0， 由已知得q>0， 所以q＝2，x1＝1.
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2
n－1
2
.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2－2
nn－1
＝2
n－1
，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
?n＋n＋1?n－1n－2
由题意得bn＝×2＝(2n＋1)×2，
2所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2
0
1
2
－1
0
1
n－3
＋(2n＋1)×2
n－2
n－2
，①
n－1
则2Tn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2由①－②，得
－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2
n－1－1
2
＋(2n＋1)×2，②
n－1
)－(2n＋1)×2
n－1
32?1－2?n－1＝＋－(2n＋1)×2. 21－2?2n－1?×2＋1所以Tn＝.
2
5．(2019·盘锦模拟)若正项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，点P(Sn，Sn＋1)在曲线
ny＝(x＋1)2上．
(1)求数列{an}的通项公式an； (2)设bn＝围．
解 (1)由Sn＋1＝(Sn＋1)，得Sn＋1－Sn＝1， 所以数列{Sn}是以S1为首项，1为公差的等差数列， 所以Sn＝S1＋(n－1)×1，即Sn＝n，
??S1，n＝1，
由公式an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2，?
2
2
1
，Tn表示数列{bn}的前n项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范
an·an＋1