重庆科技学院概率统计复习题(理工) 下载本文

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??31?y,0?y?1所以fY(y)??

0,其他????

?1?x?1?x?0?12.设连续型随机变量X的概率密度f(x)??1?x0?x?1,求E(X),D(X)。

?0其它?

由数学期望的性质与方差的性质

???213.设随机变量X的数学期望E(X)?0,且E?,X?1?2DX?1?????,求:E(X)

??解:由数学期望的性质与方差的性质,

由E?1?21?212?12?1X?1??E?X2??1=2,得E?X2?=6 ?2?21?1?1D?X?1??D?X?=,得D?X?=2

2?2?4E

2?X?=E?X2??D?X??6?2?4,又因为E?X??0,所以

E?X?=2.

14.设随机变量X和Y相互独立,且E(X)=E(Y)=1,D(X)=2,D(Y)=4,求:E(X?Y)2

E?X+Y?=E?X2+2XY+Y2?=E?X2?+2E?XY?+E?Y2?

2

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=D?X?+??E?X???+2E?X?E?Y?+D?Y?+??E?Y???=2+1+2?1?1+4+1=10 (注意:当X,Y独立时,才有E?XY?=E?X?E?Y?)

22

二维随机变量

?Cx2y15.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0x2?y?1其它

求:(1)确定常数C;(2)求边缘概率密度。 解:首先画出联合概率密度的非零区域(16-19题同)

(1)由

????+?+???f(x,y)dxdy??dx?2Cx2ydy?1, 得C??1x??1121 4(2)fX(x)?????1212?2124??x2xydy,?1?x?1?x?1?x?,?1?x?1f(x,y)dy??4=?8

??0,其他0,其他??fY(y)???????75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 f(x,y)dx??=?24??0,其他其他??0,

16.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?4xy0?x?1,0?y?1, f(x,y)??其它?0(1) 求边缘密度函数fX(x),fY(y);(2)问X与Y是否独立?(3)求P{Y?X2} 解:

(2)P{Y?X}=2y?x2??1f(x,y)dxdy??dx?4xydy? 0021x2

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?617.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度f(x,y)???0x2?y?x,0?x?1其它

分别求随机变量X和随机变量Y的边缘密度函数。

解: fX(x)??????x2???x26dy,0?x?1??6?x?x?,0?x?1 f(x,y)dy??=?0,其他?其他???0, fY(y)???????y6dx,0?y?1?6??f(x,y)dx???y=???其他??0,?y?y,0?y?10,其他?

?e-y18.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???0x?0,y?x其他

求(1)X、Y的边缘分布密度;(2)问X与Y是否独立

???y???xedy,解:(1)fX(x)??f(x,y)dy?????0,?y?y?????0edx, fY(y)??f(x,y)dx??????0,??x?0?e?x,x?0 =?其他?0,其他y?0?ye?y,y?0 =?其他其他?0,(2)当x?0,y?x时,联合概率密度为f(x,y)=e?y,而fX(x)?fY(y)?e?x?ye?y,显然

f(x,y)?fX(x)?fY(y),故X与Y不独立.

?4.8y(2?x)0?y?x,0?x?119.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:f(x,y)??

0其它?求:(1)求X、Y的边缘概率密度;(2)X与Y是否独立?

解:

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(1)fX(x)?x?.y(2?x)dy,0?x?1?24.x2(2?x),0?x?1??048 f(x,y)dy??=?0,其他?0,其他??????? fY(y)???????14.8y(2?x)dx,0?y?1?2.4y(3?4y?y2),0?y?1?f(x,y)dx???y=?

0,其他??0,其他?(2)显然当0?x?1,0?y?x时,f(x,y)?fX(x)?fY(y),故X与Y不独立

矩估计量

20.设总体X~B?1?p?其中p是未知参数,X1,X2,X3,X4,X5是总体的样本。

求:(1)若样本观测值为1,1,0,1,0, 求样本均值和样本方差。(2) p的矩估计值。

15解:(1)样本均值x=?xi?1?1?1?0?1?0??3

5i?155 样

11?44949?3s=?xi?x????????4i?14?2525252525?1025??2

母是n-1

(2)因为X~B(1,p),即0-1分布. 则p?E(X),用样本均值x替换总体均值E(X),得p的

p=x?矩估计值为?3 5

21.设总体X?b(n,p),试求参数p 的X1X2?Xm为来自总体的简单随机样本,n已知,矩估计量与最大似然估计量。

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E(X)p=E(X)=np解:(1)因为X~B(n,p),即二项分布,且n已知. 则,从而

n11m用样本均值X替换总体均值E(X),得p的矩估计量为?p=X??Xi.

nnmi?1(2)

X~Bn所p以分布律为

xP{X=x}=Cnpx(1?p)n?x,x=0,1,2,?,n

X1,m2?mX,似

,X然函

m数为:

mmxinm??xi???xixin?xixiL(p)=?Cnp(1?p)=??Cn??pi?1?(1?p)i?1i?1?i?1?

m?mxi??m???两边取对数,得lnL(p)=ln??Cn????xi?lnp??nm??xi?ln(1?p)

i?1???i?1??i?1?两边对p求导,得

mdlnL(p)?m?1??1=??xi????nm??xi??dpi?1?i?1?p??1?p

dlnL(p)=0,解得p的最大似然估计值为

dp则p的最大似然估计量为

1m?p?xi ?nmi?1.

1m1?p?Xi=X?nmi?1n

22. 设总体为X, 期望E?X???,方差D?X???2,X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本,

21n1n222S?样本均值X??Xi,样本方差S?,证明:是参数的无偏估计量 X?X???ini?1n?1i?1