数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知u?lnx2?y2，则

?u?u? ，? ，?y?xdu? 。

2、设L：x2?y2?a2，则?xdy?ydx? 。

L?x=3cost，3、设L：（0?t?2?），则曲线积分?（x2+y2）ds= 。 ??y=3sint.Lfx，y）dx的次序为 。 4、改变累次积分?dy?（2y335、设D：x?y?1 ，则??(5?1)dxdy= 。

D得 分 阅卷人 二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

px0，y0）px0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必fx，y）fx，y） 存在一阶偏导数。

( )

px0，y0）px0，y0）2、若函数（在点（ 可微，则函数（在点（连续。 fx，y）fx，y） ( )

px0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0)，则 fx，y）?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。

L(B,A)( ) ( )

4、

L(A,B)?f(x,y)dx??f(x,y)dx。

fx，y）fx，y）5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（ 在D上可积。( )

得 分 阅卷人 三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、用格林公式计算曲线积分

I??(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ，

AO其中AO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。 2、计算三重积分

--线--------------------------------------

22(x?y)dxdydz， ???V其中 是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。 3、计算第一型曲面积分

_____________ --------------------------------------线--------------------------------------封--------------------------------------密-------------------------------------- I???dS ，

S其中S是球面x2?y2?z2?R2上被平面z?a(0?a?R)所截下的顶部（z?a）。

4、计算第二型曲面积分 I???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy，

S其中S是立方体V??0,b???0,b???0,b?的外表面。

5、设D??(x,y)x2?y2?R2?. 求以圆域D为底，以曲面z?e?(x2?y2)为顶的曲顶柱体

的体积。

得 分 阅卷人

四、证明题(每小题7分，共14分)

1、验证曲线积分

?(x2?2yz)d?x(2y?2x)z?dy2(?z2，x) ydzL与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(x,y,z)。 2、证明：若函数（fx，y）在有界闭区域D上连续，则存在(?,?)?D, 使得

??f(x,y)?d?f?(?,?)D S ，这里SD是区域D的面积。

D 参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、

xyxx2?y2；x2?y2；

x2?y2dx?yx2?y2dy。 2、2?a2； 3、54? ； 4、?3dx?X22f(x,y)dy ；5、2(5?1)。 二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、×； 2、○； 3、×； 4、× ； 5、○ . 三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、解：补上线段OA:y?0,0?x?a 与弧AO:x2?y2?ax(y?0)构成封闭曲线，由格林公式，有

----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =

y?(ecosy?3)?a?dxdy?D:x2?y2????excosx?ax(y?0)?00dx-----------------------------8分

=3??dxdy?3?2D8a--------------------------------------------------------------------9分 班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ 2、解：作柱面坐标变换：x?rcos?,y?rsin?,z?z， 则J(r,?,z)?r 且

V?V?:r2?z?4,0?r?2,0???2?---------------------------------------------4分

3、解：S：Z?R2?x2?y2，（x，y）?D：x2+y2?R2?a2. ?I???dS???SDRR?x?y222dxdy--------------------------4分

作极坐标变换：x?rcos?，y=rsin? ， 则 （ Jr，?）=r，且D：?D?：0?r?R2?a2，0???2?

2?R2?a2=

?d?0?0RR?r22rdr-----------------------------------7分

----------------------------------------------9分 ?2?R（R-a）4、解：用高斯公式，得

I????（y+0+x）dxdydzVbbb------------------------------------6分

=?dx?dy?（x+y）dz----------------------------------8分

000 =b4--------------------------------------------------9分 5、解：曲顶柱体的体积V???eD?（x2?y2）dxdy-----------------4分

作极坐标变换：x?rcos?，y?rsin?，则 （ Jr，?）=r， 且 D?D?：0?r?R，0???2? ，于是，有

2?R =

?r?d??erdr--------------------------------------8分 002（1-e-R）=?-----------------------------------------------9分

2四、证明题(每小题7分，共14分)

1、证明：P?x2?2yz，Q?y2?2xz，R?z2?2xy

?P?Q?R?Q?P?R（x，y，z）?R3. ???2z，??2x，???2y，

?y?x?y?z?z?x-----------------------------------4分 ?曲线积分与路线无关。取x0?y0?0，则

x2y2z =?xdx??ydy??（z2-2xz）dz-------------------7分

0001 =?（x3+y3+z3）-2xyz--------------------------9分

31、证明：由 最值定理，函数（在有界闭区域D上存在最大值M和最小值m，且fx，y）?（x，y）?D，有

m?（fx，y）?M， 上式各端在D上积分，得

mSD???（fx，y）d??MSD，

D 或 m?其中SD为D的面积。

fx，y）d???（DSD?M，

（?，?）?D，使得 根据介质性定理，存在