非线性电路混沌及其同步控制

【摘要】

本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。 【关键词】

混沌现象 有源非线性负阻 蔡氏电路 混沌同步 费根鲍姆常数 一．【引言】

1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。

迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。

本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。 二．【实验原理】 1.有源非线性负阻

一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v呈线性变化，所谓正阻，即I-U是正相关，i-v曲线的斜率

?u为正。相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端?i的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。

一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。本实验才有如图1所示的负阻抗变换器电路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现。

图1 有源非线性负阻内部结构

用电路图3以测试有源非线性负阻的i-v特性曲线，如图4示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，只有中间的三段这线区可以产生负阻效应。

图3 非线性负阻伏安特性测试电路

图4 有源非线性负阻伏安特性

2.混沌

混沌是一种运动状态，是确定性中出现的无规律性，其主要特征是动力学特性对初始条件的依赖性非常敏感。一个混沌系统即使确定的又是不可预测的，也不能分解为两个子系统，通向混沌有三条主要途径：倍周期分岔道路：改变一些系统的参数，是系统周期加倍，知道丧失周期性，进入混沌；阵发性道路：在非平衡的系统中，某些参数的变化达到某一临界值是，系统会表现出在时间行为上时而周期，时而混沌的状况，最终进入混沌；准周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出，由于某些参数的变化使得系统有不同频率的震荡相互耦合时，会产生一些新的频率，进而导致混沌。另外还有湍流道路，剪切流转等产生混沌。 3.吸引子

在耗散的动力学系统，长时间以后状态总要演化到有限空间的状态吸收集上，这样的状态叫吸引子，它是稳定的不动点。

吸引子根据形态分为：

（1）点吸引子——系统的运动在相空间中的轨迹最终到达一点点，常见的有点吸引子、叫点吸引子。点吸引子代表定常的运动形态。

（2）极限环吸引子——相空间任意点发出的轨道曲线一条闭合轨道，它代表周期运动状态，又叫做周期吸引子，对离散映射，若有一个不动点切实稳定，那么就代表极限环吸引子。

（3）不变环面吸引子：当相空间的运动轨线都趋向换面，就是环面吸引子，它代表准周期的运动形态。

（4）奇怪吸引子：轨道吸引到有限区域后，它好像在趋于某些不动点，但又跑了出来，它又好像在绕圈但又无规则，从而形成奇怪吸引子。它代表非周期性的运动形态。在离散映射上形成无数个有奇怪性质的不动点。 4.菲根鲍姆常数

一个完全确定的系统，即使非常简单，由于系统内部的非线性作用，同样具有内在的随机性，可以产生随机性的非周期运动。在许多非线性系统中，既有周期运动，又有混沌运动。菲根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量?收敛服从普适规律。他指出，出现倍周期分岔预示着混沌的存在。?=4.699 201 609 102 9。非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度，?'?近?，系统进入混沌就越快。 5.非线性电路

本实验以蔡氏电路为基本实验装置，蔡氏电路是能产生混沌的最简单的非线性电路，如电路图5所示，它由一个非线性电阻RN、电感L，可调电阻R以及电容器C1与C2，其中非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌的必要条件。

图5 蔡氏震荡电路

?2??1，?'越接

?3??2由基尔霍夫结点电流定律可以得到蔡氏电路的非线性动力学方程：

{

C1Lic1?iR?iRNic2?iL?iRLdiL??Uc2dt

dUc1Uc11?Uc2?Uc1?dtRRNUc1????

C2dUc2dt?1Uc1?Uc2?iLR??diL??Uc2dt方程组中Uc1 、Uc2和iL任何一个量都可以描述系统状态，不存在解析解，只能数值求解。数值结果表明：对Uc1 、Uc2和iL分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期震荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期震荡?2周期?2n周期?阵发混沌?单吸引子? 双吸引子临界状态? 双吸引子? 稳定双吸引子。方程组中R、L、C1和C2的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至10?6量级，解就会从一个态变成另一个态，甚至从稳定态，变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。 6、混沌同步

所谓混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一而系统的混沌动力学轨道，以至于两个系统在以后的时间里始终保持步调的一致。方法是驱动响应方法，它将系统分为两个子系统：驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统。混沌同步的目的是在一个相同的具有任意初始条件的形影系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。用于保密通信是，在传输前用混沌来隐藏消息，并通过混沌同步来在接收端抽取该隐藏的消息。

实验中的混沌同步系统有两个相同才是电路和一个单项耦合系统构成的。相同的蔡氏电路之两个电路的元件的参数尽可能的接近，从而确保混沌同步实现的基本条件。单向耦合系统确保驱动系统能对响应系统产生影响，响应系统不能对