高二数学期末试卷

1n1n1

方差s2＝ ∑(xi－－x)2，其中－x＝ ∑xi；锥体的体积公式：V＝Sh；柱体的体积公式：V＝Sh．

ni＝1ni＝13一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 已知集合M??0,1,2?，集合N??xx?2a,a?M?，则M2． 复数z＝1－i，则z?N= ．

1的实部是________． z3． 某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为 9，

则这组数据的方差是

．

T?1ForIForm3TO9Step24． 函数f(x)?1?lgx定义域为 ．

T?T?Ix2y25． 若双曲线??1的虚轴长为2，则实数m的值为 ． EndFormm?4PrintT6． 根据右面的伪代码，最后输出的T值为 ．

7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．

V8． 记棱长都为1的正三棱锥的体积为V1，棱长都为1的正三棱柱的体积为V2，则1? ．

V29． 若直线y＝2x＋b是曲线y?ex?2的切线，则实数b＝ ．

10．任取两个小于1的正数x,y，那么x,y,1恰好为一个钝角三角形三边长的概率为 ． 11．已知tan(???)?1，tan(???)?2，则

sin2?的值为 ．

cos2?212．b，c为正实数）已知函数f(x)?x?2ax?3?(ab?bc?ac)（其中a，的值域为[0,??)，则2a?b?c的最小值为 ．

13．已知等边?ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PA?PB?2??1?0的点P恰有两个，

则实数?的取值范围是 ．

14．已知各项均为整数的数列?an?满足：a9??1，a13?4，且前12项依次成等差数列，从第11项

起依次成等比数列．若am?am?1?am?2??am?9?am?am?1?am?2??am?9，则正整数m? ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量 m＝(1，3)，n＝(1－cos A，sin A)，且m∥n．

A A （1）求A的值；

E 1＋sin 2B

（2）若＝－3，求tan C的值．

cos2B

C B C B F

D

（第16题图2）

16．（本小题满分14分）

一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，

D 得到三棱锥A－BCD（如图2）． （第16题图1）

（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD； （2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．

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17．（本小题满分14分）

如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63

千米处．

（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；

（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为

3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．

18．（本小题满分16分） 19．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1?1，an?1??an2?2an??an?1，n∈N*．

（1）当λ＝2，μ＝0 时，求证：数列{an}为等比数列； （2）若数列{an}是等差数列，求λ＋μ的值；

（3）若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{bn}满足 a1≤bn≤an．求{bn}的通项公式． 20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?ax3?bx2?c(a,b,c?R)．

（1）若a?1，函数f(x)与其导数f?(x)在区间[1,??)上都为单调函数，且单调性一致，求实数

b的取值范围；

（2）若c?1，且对?x?R，f(x)?f?(x)恒成立，求实数b的取值范围；

（3）若a?1，c=m－b（实数m是与b无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，b的取

33值范围恰好是(??,?3)U(1,)U(,??)，求m的值．

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342． 3．． 4．(0,10]． 5．3． 6．945． 7．．

9256238．．提示：棱长为a的正四面体的体积为a； 9．－2ln 2．提示：设切点P(x0,ex0?2)

912?x2?y2?1?0?x?1??210．．提示：几何概型，其中几何区域D为?，几何区域d为?，且d?D

4?0?y?1?x?y?11．?0,1,2,4?． 2．

11．1．提示：由于展开繁琐，故进行角的整体变换，要么凑，要么换元，

sin2?sin?(???)?(???)?sin(???)cos(???)?cos(???)sin(???)tan(???)?tan(???)????1． cos2?cos?(???)?(???)?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)1?tan(???)tan(???)12．23．提示：三板砖“减个元、换个元、变个形”，由??0得a2?ab?bc?ac?3，

3?a2?ab3?a2?aba2?2ab?b2?33 法1：由c?，得2a?b?c?2a?b?；??(a?b)?a?ba?ba?ba?b法2：∴a(a?b)?c(a?b)?3，∴(a?b)(a?c)?3，由2a?b?c?(a?b)?(a?c)得 3113．???．提示：坐标法，以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

82法1：设P(x，y)，则有x2?y2?2?，它表示圆O，从而转化为圆O与线段AC有两个交点，画

图观察知圆O与直线AC相交，且A在圆O外或圆O上即可；

法2：设P(x,3x?3)，转化为当?1?x?0时方程4x2?6x?3?2??0有两个不等实根，参数

分离，作图观察

14．5．提示：求出公差d?1，可得前13项为-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，

无论求和还是求积，从“0”入手最简单，注意到am,am?1,am?2,,am?9为连续的10项， 若0在其中，从0向左右两边依次取项相加，直到和为0，可得m?5，

若0不在其中，由于0前面只有9项，故10项都在0后面，显然这些数的积比和大，故无解

π315. (1) 因为m∥n所以sin A＋3cos A＝3，(2分)则sin?A+?＝?3?2.(4分)

π

又0

3

1＋2sin Bcos B

(2) 由题知 ＝－3，整理得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0.(8分) 22cosB－sinB

又cos B≠0 ，所以tan 2B－tan B－2＝0，解得tan B＝2或tan B＝－1.(10分) 又当tan B＝－1时cos2B－sin2B＝0，不合题意舍去，所以tan B＝2.(12分)

tan A＋tan B8＋53

故tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－＝. (14分)

111－tan Atan B

16．(1)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC． ………………2分

又EF?平面ACD，AC?平面ACD，所以EF∥平面ACD． …………………6分

(2) 因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，

CD?平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC． ……………………8分

因为AB?平面ABC，所以CD⊥AB． ……………………10分

又因为AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC?平面ACD，CD?平面ACD，

所以AB⊥平面ACD． ……………………12分

又AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD． ……………………14分

ABBP

17. (1) 在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠APB＝75°，由正弦定理，得＝，

sin ∠APBsin A

36×

2123

即BP＝＝＝33(6－2)，故PB的距离是92－36千米. (4分)

2＋66＋24

(2) 甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．

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