题组层级快练(十三)
1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( ) A．(0,1) C．(2,3) 答案 C
解析 设f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0. ∴f(x)＝0在(2,3)内有零点．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内． 2．(2015·衡水调研卷)方程|x－2x|＝a＋1(a>0)的解的个数是( ) A．1 C．3 答案 B
解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a＋1>1.
而y＝|x－2x|的图像如图，
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2
2
2
B．(1,2) D．(3,4)
B．2 D．4
∴y＝|x－2x|的图像与y＝a＋1的图像总有两个交点．
??lnx－x＋2x
3．函数f(x)＝?
?x?2x＋
2
2
2
x，
的零点个数为( ) B．1 D．3
A．0 C．2 答案 D
解析 依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.
4．(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} C．{2－7，1,3} 答案 D
解析 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x) ＝x－3的根，由x－3x＝x－3，解得x＝1或3； 当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x) ＝f(－x)＝x－3(－x)，即f(x)＝－x－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.
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B．{－3，－1,1,3} D．{－2－7，1,3}
1x5．(2015·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝()－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
4A．1 C．3 答案 C
1x1x1x解析 函数f(x)＝()－cosx的零点个数为()－cosx＝0?()＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝
4441x()与g(x)＝cosx的图像的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C. 4
B．2 D．4
6．函数f(x)＝x－x－x＋1在[0,2]上( ) A．有两个零点 C．仅有一个零点 答案 C
解析 由于f(x)＝x－x－x＋1＝(x－1)(x－1)． 令f(x)＝0，得x＝－1,1.
因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．
7．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点 C．有且仅有两个零点 答案 B
1
解析 原函数f(x)＝x－cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上
2单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.
8．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 C．有且仅有两个根 答案 C
解析 求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
B．有且仅有一个根 D．有无穷多个根 B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
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2
3
2
B．有三个零点 D．无零点
9．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) C．(－∞，1) 答案 A
解析 只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0， 故a∈(－2,2)．
10．(2015·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2＋则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 答案 B
111x解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2在(1，
1－x1－xx－1＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
11．若函数f(x)＝2ax－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(1，＋∞) 答案 C
解析 当a＝0时，函数的零点是x＝－1. 当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1. 1
若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C.
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12．已知函数f(x)＝2＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( ) A．a 解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2，y＝－x，y＝log2x的图像，结合函数y＝2与y＝－x的图像可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数y＝log2x与y＝－x的图像可知其交点横坐标大于0且小于1，即0 13．(2015·东营模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数 xxx23 B．[－2,2] D．(1，＋∞) x1 的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，1－xB．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 B．[1，＋∞) D．(2，＋∞)