∴ ∠DAC =∠DCA ，
又在 Rt△ABC 中，有∠ BAC +∠ABC =90°，∠DCA +∠DCB =90°． ∴ ∠ABC=∠DCB （________）（填推理的依据） ． ∴ DB=DC． ∴ AD=BD=DC ． ∴ D 为 AB 中点．
∴ DE 是△ ABC 的中位线．
2 2
20．关于 x 的一元二次方程 x (2k 1)x k 1 0 ，其中 k 0 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当 k
1时，求该方程的根．
21．如图，在 □ABCD 中，∠ BAD 的角平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，连接
DE．
（1）求证： DA =DF；
（2）若∠ ADE =∠CDE =30°， DE
2 3 ， 求□ABCD 的面积．
A
D
C
B
E
F
22．如图， AB 是⊙O 的直径， PA，PC 与⊙O 分别相切于点 A，C，连接 AC，BC，OP，AC
与 OP 相交于点 D． （1）求证： B
CPO
90 ；
12 3
（2）连结 BP，若 AC＝ ，sin∠CPO ＝ ，求 BP 的长．
5
5
九年级（数学） 第 5 页（共 16 页）
23．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，直线 y x b与 x 轴、 y
轴分别交于点
A，B，与双
2
曲线 y N ． 的交点为 M ，
x
（1）当点 M 的横坐标为 1 时，求 b 的值； （2）若 MN
3AB ，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．
y
4 3 2 1
–4
–3 –2 –1
1 2 3 4
x
O
–1 –2 –3 –4
24．有这样一个问题：探究函数
1
2
1 x
x
的图象与性质．
y
8
小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数 究．
下面是小宇的探究过程，请补充完整：
1
2
1 x
x
的图象与性质进行了探
y
8
（1）函数
1
2
1 x
x
的自变量 x 的取值范围是 ；
y
8
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，完成以下作图步骤：
1 2
①画出函数 2 y = - 的图象；
y = x 和
x
4
2
②在 x 轴上取一点 P，过点 P作 x 轴的垂线 l ，分别交函数 2 y = - 的图
y = x 和
x
4 象于点 M ， N ，记线段 MN 的中点为 G ；
1
③在 x 轴正半轴上多次改变点
P
的位置，用②的方法得到相应的点
G ，把这些点
用平滑的曲线连接起来，得到函数
1
2
1 x
y
负半轴上多次改变点
x
8
在 y 轴右侧的图象．继续在 x 轴
P
的位置，重复上述操作得到该函数在
y 轴左侧的图象．
九年级（数学） 第 6 页（共 16 页）
y
4 3 2
l
M
1
G P
4
3
2
1
1 2 3 4
（3）结合函数
O
1
2
3
4
x
N
1 y
8
2
1 的图象， 发现： x
该点的横坐标约为
（保留小数点
x
①该函数图象在第二象限内存在最低点， 后一位）；
②该函数还具有的性质为：
25．某学校共有六个年级，每个年级
_________________（一条即可） ．
10 个班，每个班约 40 名同学．该校食堂共有
10 个窗
口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在 12 岁（含 12 岁）到
各自
18 岁（含 18 岁）之间，平均年龄约为 15 岁．
小天、 小东和小云三位同学， 为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况， 进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了 进行了整理．
小天从初一年级每个班随机抽取
6 名同学进行调查，绘制统计图表如下：
60 名同学，将收集到的数据
小东从全校每个班随机抽取 1 名同学进行调查，绘制统计图表如下：
九年级（数学） 第 7 页（共 16 页）
小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔 下：
10 人抽取 1 人进行调查，绘制统计图表如
根据以上材料回答问题：
（1）写出图 2 中 m 的值，并补全图 2；
（2）小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对
各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处； （3）为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为
口尽量多的分配工作人员，理由为
______窗
_________________________________ __ ．
2
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：
y ax
2 3
ax 与直线 l： y kx b 交于
A，B 两点，且点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴的正半轴上． （1）求点 A 的坐标；
（2）若 a
1 ，求直线 l 的解析式；
1 ，求 a 的取值范围．
y
4 3 2 1
（3）若 3 k
–4 –3 –2 –1
O
1 2 –1 –2 –3 –4
3 4
x
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