课时作业52 椭圆

一、选择题

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，

2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( A )

A．4 C．2

1

解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，

2

∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.

2．(2019·开封模拟)曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)的( D )

25925－k9－kA．长轴长相等 C．离心率相等

2

2

x2y2

B．3 D．5

x2y2x2y2

B．短轴长相等 D．焦距相等

解析：因为c1＝25－9＝16，c2＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．

x22

3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y＝1的离心率为( C )

mA.C.

30 6

30

或7 6

2

B.7 5

D.或7 6

解析：由题意知m＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝6，

b＝1，c＝5，则e＝

30

；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝6，c6

＝7，则e＝7.故选C.

4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若

43点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( A )

A．4 C．8

解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，

|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos60° ＝|F1F2|，得3|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.

22

2

x2y2

B．6 D．12

x2y2

5．焦点在x轴上的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成

ab一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( C )

3

1A. 41C. 2

1B. 32D. 3

12

b解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得1bc1

×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

23a2

x2y2

6．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内

ab部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )

A.?C.?

?5－1?

，1?

?2??3－1?

，1?

?2?

B.?0，D.?0，?

???

5－1?

? 2?3－1?

? 2?

解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.又正方形ABCD的

x2y2m2m2c2c22e242

四个顶点都在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，∴2＋2＝1>2＋2＝e＋2，整理得e－3e＋

ababab1－e3－5

1>0，e<＝

2

2

5－4

2

，∴0

5－1

.故选B. 2

2

2

2

2

二、填空题

7．(2019·河北保定一模)与圆C1：(x＋3)＋y＝1外切，且与圆C2：(x－3)＋y＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.

2516

解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.

2516

x2y2

x2y2

x2y2

8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆＋2＝1(0

4b的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是3.

解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所2b以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，

2

a所以b＝3，即b＝3.

9．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m925

2

x2y2

取最大值时，点P的坐标是(－3,0)或(3,0)．

解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 则m＝|PF1|·|PF2|≤?

?|PF1|＋|PF2|?2＝25，

?2??

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．

x2y2

10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是xab－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是

3. 2

x2y2

解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为ABab的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝

y2－y1

＝1.由x2－x1

???xy??a＋b＝1，

2

22

222

x2y211

2＋2＝1，ab

a2

两式相减得，

x1＋x2x1－x2

＋

y1＋y2

b2

y1－y2

＝0，

y1－y2b2x1＋x2b21所以＝－2·，所以2－＝，

x1－x2ay1＋y2a4c于是椭圆的离心率e＝＝

a三、解答题

11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且椭圆C过点P?1，b231－2＝. a2

?

?3??. 2?

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△

AOB的面积．

a－b＝3，??xy解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意可得?13

ab2＋2＝1，??a4b2

2

2

2

解得

??a＝4，

?2

?b＝1.?

2

故椭圆C的方程为＋y＝1.

4

x2

2