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初一实数所有知识点总结和常考题

知识点：

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数

零 有限小数和无限循环小数

实数

负有理数 正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如

7,3

2 等；

（2）有特定意义的数，如圆周率

π，或化简后含有

π的数，如 π

+8 等；

3

（3）有特定结构的数，如 0.1010010001, 等；二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数 （只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如 果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=— b，反之亦成立。2、绝

对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| ≥0。零的绝对值时

它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a ，则 a≥0；若 |a|=-a ，则 a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。

4. 实数与数轴上点的关系：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的， 即每一个实数都可以用数轴上的一个点 来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义： 如果一个数 x 的平方 等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．如果 x 2

a ，那么 x 叫做 a 的平方根．

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即：

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（2）开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ，叫做开平方．开平方

必须是 非负数 才有意义。

（ 3）平方与 开平方互为逆运算

：

3 的平方等于

9， 9 的平方根是

3

（ 4）一个正数 有两个平方根， 即正数 进行开平方 运算有 两个 结

果；一个负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算

（ 5）符号： 正数 a 的正的平方根 可用

a 表示， a 也是 a 的算术平方根；

运算的 被开方数

正数 a 的负的平方根 可用 - a 表示 ． （ 6） x 2

x a a<—>

a 是 x 的平方

x 的平方是 a

x 是 a 的平方根 2、算术平方根

a 的平方根是 x

： 一般地，如果 一个正数 x 的平方等于 a，即 a ，那么（1）算术平方根的定

2x 这 义

个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记a ，读作 “根 号 为

a”， a 叫做 被开方

数．

规定： 0 的算术平方根

0. 是 也就是，在等式 x a (x ≥ 中0)，规定 xa 。 （ 2） a 的结果有 两种情况： 当 a 是完全平方数 a 是一个 有限时， 数；

2

当 a 不是一个完全平方数

时， a 是一个 无限不循环小数。

（ 3）当被开方数扩大 时，它的 算术平方根 也扩大；

当被开方数缩小 时与它的算术平方根也 缩

小 。 （ 4）夹值法 及估计一个（无理）数的大小 （ 5） 2x

a (x ≥ 0) <—> x a

a

0

a 是 x 的平方 x 的平方是 a

x 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x （ 6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是

零。

a

2

a （ a 0）

a

；注意 a 的双重非负性：

a 0 - a （ a <0）

（ 7）平方根 和算术平方根 两者既有区别又有联系：

，而它的 算术平方根只有一

区别在于 正数的平方根有两个 个 ；

联系在于 正数 的正平方根 就是它的 算术平方根 ，而正数的负平方根 是它的 算术平方根

的相反数。

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3、立方根

（1）立方根的定义：如果 一个数 x 的立方 等于 a，这个数叫做 a 的立方根 （也叫做 三

次方根 ），即如果 x a ，那么 x 叫做 a 的立方根

3

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（ 2）一个数 a的立方根， 记作 3

a ，读作： “三次根号 a ”，

其中 a 叫被开方数， 3 叫根指数， 不能省略 ，若省略表示平方 。

（ 3） 一个正数 有一个 正的立方根；

0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根 ；任何数 都有 唯一 的立方根 。

（ 4）利用 开立方 和立方互为逆运算 关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性， 求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反

数，即 3

a

3 a a 0 。 （ 5）

x3

a <—>x 3 a

a 是 x 的立

方

x 的立方是 a x 是 a 的立方根

a 的立方根是 x

（6） 3

a

3

a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一这时，从左边第一个不是零的位， 就说它精确到哪一位， 数 字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

a 10 n

的形式，其中 1 a 10 ，n 是整数，这种记数法叫做科学

把一个数写做 记数 法。

五、实数大小的比较 1、数轴

规定了原点、 正方向和单位长度的直线叫做数轴 （画数轴时， 要注意三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合的思想， 理解实数与数轴的点是一一对应的， 并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法 （ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（ 2）求差比较：设 a、 b 是实数，

a b 0 a b,

a b 0 a b, a b

0 a

b

（3）求商比较法： 设 a、b 是两正实数， 1 a

a 1

; a 1 ; a b; a b a b b b b （ 4）绝对值比较法：a、 b 是两负实数，设 则 a

b

a b 。

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。

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（ 5）平方法：a、 b 是两负实数，则 a

22

b 设

六、实数的运算

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a b 。

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