一师一优课 教学设计

【教学目标】

1．知识与能力：一要熟练掌握二次函数和平面几何的基础知识；二要利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，充分挖掘题目中的隐含条件，达到解题的目的。

2．过程与方法：一要通过综合题的训练要求学生熟练掌握待定系数法、分类讨论、数形结合的数学思想方法；二要经历探究利用函数的模型表示线段长或面积的过程。

3．情感态度与价值观：一要通过探究，互相讨论，发表意见等学习过程，培养合作精神和认真倾听的习惯，二要经历探究面积的最值问题体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。

【学情分析】二次函数综合题知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此在解决此类综合题时，要求学生，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的解题技能，三要掌握常用的解题策略。

【教学重点难点】二次函数与几何图形相结合的综合问题 【教学过程】

一：探究问题，交流讨论

1：问题一：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点。 （1）求该抛物线的表达式;

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。 2：合作交流; 分类讨论;

情况一、二 情况三

二：师生互动：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，得

1a- b+c=0 a=

329a+3b+c=0 解之，得 b=?

3c=-1 c=-1 12 ∴所求抛物线的表达式为y=x2-?x-1

33 （2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。

又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P

有两个，分别记为P1,P2 .

5而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，

35此时P1（4，）P2（-4,7）

3②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可 又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1

∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3 而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）

5综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）

3

三：解决问题：

问题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C （2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3） 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

⑴设抛物线的解析式为 y＝ax＋bx＋c (a≠0)，则有

2

?16a?4b?c?01? ．解得 a＝，b＝1，c＝－4． ?c??42?4a?2b?c?0?∴ 抛物线的解析式为 y＝x2＋x－4……3分 ⑵过点M作MD⊥x轴于点D，设点M的坐标为(m，n) 则AD＝m＋4，MD＝－n，n＝m2＋m－4 ∴S＝S△AMD＋S梯形DMBO－S△ABO

＝(m＋4)(－n)＋(－n＋4)(－m)－×4×

A 1212y 121212D O C x 4

＝―2n―2m―8

＝―2×(m2＋m－4)―2m―8 ＝―m―4m (－4＜m＜0) ……6分 ∴S最大值＝4……7分

⑶ 满足题意的Q点的坐标有四个，分别是

Q3(?4,4)，Q4(4,?4)，Q1?2?25,2?25P1 2

M B 12y ??，

Q1 Q3 P2 A O C Q2 Q4 B x