第二章 平面向量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理

A级 基础巩固

一、选择题

1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )

A．e1＋e2和e1－e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2 D．e1和e1＋e2

解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， 所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，

所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底． 答案：B

→→π

2．在菱形ABCD中，∠A＝，则AB与AC的夹角为( )

3πA. 65πC. 6

πB. 32πD. 3

→→π

解析：由题意知AC平分∠BAD，所以AB与AC的夹角为.

6答案：A

1

→→→→

3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2DC，设AB＝a，AC→

＝b，则AD可用基底a，b表示为( )

1

A.(a＋b) 212C.a＋b 33

→→

解析：因为BD＝2DC， →2→所以BD＝BC.

3

→→→→2→→2→→1→2→所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC

333312

＝a＋b. 33

答案：C

→→→

4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP＝xOA＋yOB，→→

且BP＝3PA，则( )

21B.a＋b 331

D.(a＋b) 3

21

A．x＝，y＝

3313

C．x＝，y＝

44

12

B．x＝，y＝ 3331

D．x＝，y＝ 44

→→→→→→→

解析：由已知BP＝3PA，得OP－OB＝3(OA－OP)，整理，得OP

2

3→1→31＝OA＋OB，故x＝，y＝. 4444

答案：D

→4→→5．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD＝CA＋λCB，

3则λ＝( )

2A. 31C．－

3

1B. 32D．－

3

解析：因为A，B，D三点共线，

→→→→→→→

所以存在实数t，使AD＝tAB，则CD－CA＝t(CB－CA)，即CD＝→→→→→CA＋t(CB－CA)＝(1－t)CA＋tCB，

4?1－t＝，?13

所以?解之得λ＝－.

3

??t＝λ，答案：C 二、填空题

→→→→→6．若OP1＝a，OP2＝b，P1P2＝λPP2(λ≠－1)，则OP＝________． →→→→→→→→解析：因为OP＝OP1＋P1P＝OP1＋λPP2＝OP1＋λ(OP2－OP)→→→＝OP1＋λOP2－λOP，

→→→

所以(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2

3