二次函数综合压轴题型归类

教学目标：1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点：1、利用图形的性质找点 2、分解图形求面积

一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总

1、两点间的距离公式：AB??yA?yB?2??xA?xB?2

?xA?xByA?yB，2?2?? ?2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：? 直线y?k1x?b1（k1?0）与y?k2x?b2（k2?0）的位置关系：

（1）两直线平行?k1?k2且b1?b2 （2）两直线相交?k1?k2 （3）两直线重合?k1?k2且b1?b2 （4）两直线垂直?k1k2??1

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x的一元二次方程x－2?m?1?x?m＝0有两个整数根，m＜5且m为整数，求m的值。

22

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线y?mx??3m?1?x?3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定

2此抛物线的解析式。

1

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程mx?3(m?1)x?2m?3?0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m?0时，x?1；

当m?0时，???m?3??0，x?223?m?1???3，x1?2?、x2?1；

2mm综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线y?x?mx?m?2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y?x?2?m?1?x?；

22? y?x2?2?0? y??1∴ ?，解得：?；

? x?1? 1?x?0∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m的方程y?x?2?m?1?x?不论m为何值，方程恒成立）

2小结：关于x的方程ax?b有无数解??? a?0

? b?0

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AM?MN之和最小。

（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得

BM?MN?AN之和最小。

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（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧 ），使得四边形AEFB的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB=1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y 9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）

2 ? y＝ax2＋bx＋c （1）解方程组?可求出两个图象交点的坐标。

? y＝kx＋h? y＝ax2＋bx＋c2 （2）解方程组?，即ax＋?b－k?x＋c－h＝0，通过?可判断两个图象的交点

? y＝kx＋h的个数

有两个交点 ? ?＞0 仅有一个交点 ? ??0 没有交点 ? ?＜0

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 3