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数列通项

一．求数列通项公式

1观察法

1111已知数列3,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________

4816322公式法：（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）

2等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列?an?的通项

公式．

3用作差法：已知Sn（即a1?a2??a1,(n?1)?an?f(n)）求an，用作差法：an??

?Sn?Sn?1,(n?2)11设正整数数列{an}前n项和为Sn，满足Sn?(an?1)2，求an 42.已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an 53.数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an 3111{an}满足a1?2a2??nan?2n?5，求an数列

4 222f(1),(n?1)??f(n)4作商法：已知a1a2an?f(n)求an，用作商法：an??。 ,(n?2)??f(n?1)如数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，则a3?a5?；5累加法：若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a 1)?a1(n?2)。 1已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an． 2已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?6累乘法：已知1n?1?n(n?2)，则an=______ an?1aaa?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1??2?a1(n?2) anan?1an?2a12n1已知数列?an?满足a1?，an?1?an，求an。

3n?1.2已知数列{an}中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an

7用构造法（构造等差．等比数列）。

（1）形如an?1?pan?f?n?只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异．其中f?n?有多种不同形式

①f?n?为常数，即递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。

q解法：转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?，再利用换元法转化为等比数列求解。

1?p例．已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an． ②f?n?为一次多项式，即递推公式为an?1?pan?rn?s

例．设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?2,(n?2)，求an． 通项专题答案

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精心整理 1an?2n?1?1 2n?132an?n5

3(1)an?2n?1

(2)

an?(3)an?(4)an?4

61 16???3,n?1

2n,n?2

4,n?134n?1,n?214,n?1

2n?1,n?2n2?n?45(1)an?

2(2)an?n?1?2?1

426(1)an?(2)an?

n(n?1)3n7(1)an?2n?1?3

(2)an?6?3n?1?n?1

2.已知a1?3且an?1?3an?2n，求an答案：an?5?3n?1?2n答案：an?5?3n?1?2n 118.已知a1??且3Sn?1?Sn?an?1，求an答案：an?

n(3n?3)33n3an311.已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，…，求{an}的通项公式；答案：an?n

2an+13?25二．数列求和 1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论．；③常用

n(n?1)21?2?3??n?1n(n?1)，12?22??n2?1n(n?1)(2n?1)，公式： 13?23?33??n3?[]．

262?11例．已知log3x?，求x?x2?x3?????xn????的前n项和.答案：Sn?1?nlog232

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．

a?an?13n2?n111?例2．求数列的前n项和：1?1,?4,2?7,???,n?1?3n?2，…答案：Sn?a?12 aaa3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）． 例3．求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值答案：Sn?44.5

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么精心整理

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常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）．

例4．求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①

2462nn?2例5．求数列,2,3,???,n,???前n项的和．答案：Sn?4?n?12222 25．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：

1①1?1?1；②?1(1?1)；

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111111111111??2???； ③2?2?(?)，?kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1kkk?12k?1k?11111n11?[?]；⑤④； ??n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!22⑥2(n?1?n)? ?1??2(n?n?1)． n?n?1nn?n?1111,,???,,???的前n项和．答案：Sn?n?1?1例6．求数列

1?22?3n?n?1212n例7．在数列{an}中，an?，又bn?，求数列{bn}的前n项的和． ??????a?an?1n?1n?1nn?18n答案：Sn?n?1

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 10n?1?10?9n例8．求1?11?111?????111????1之和．答案：Sn???81 n个1三．能力综合 1．数列{an}的通项公式为an=1，已知前m项和Sm=9，则m为()

n+1+nA．99B．98C．10D．9 2．数列1，1+2，l+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n项和等于()

A．2n+1-nB．2nC．2n-nD．2n+1-n-2 3．数列?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn?an?1?an(n?N?)，若b3??2,b10?12，则a8?（）

A．0B．3C．8D．11 4．设数列?an?满足a1?0且11??1。 1?an?11?an（1）求?an?的通项公式；（2）设bn?1?an?1nk?1f(1)f(3)f(5)f(2007)????5．如果f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=-2，则等于答案：-502 f(2)f(4)f(6)f(2008)6．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1 (l)求数列{an}和{bn}的通项公式；

a21(2)设cn=n，求数列{cn}的前n项和Tn答案：（1）an?4n?2,bn?n?1（2）Tn?[(6n?5)4n?5]bn49

，记Sn??bk，证明：Sn?1

n7．求满足下列条件的数列?an?的通项公式。 精心整理

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（1）已知?an?满足an?1?an?14n2?1,a1?1；（2）已知?an?满足an?1?3nan，且a1?3，求an。 24n?3答案：（1）an?（2）an?32

4n?28．求下面各数列的前n项和。

11111111（1）（2）,,,,；,,,,

1?33?55?77?91?2?32?3?43?4?54?5?69．设函数f(n)的定义域为N+，且满足f(m?n)?f(m)?f(n)?mn，f(1)?1，求f(n)。

a?12) 10．设正值数列{an}的前n项和为sn，满足sn?(n21（1）求a1，a2，a3（2）求出数列{an}的通项公式（3）设bn?求数列{bn}的前n项和Tn

anan?1n答案：（1）a1?1,a2?3,a3?5；（2）an?2n?1；（3）Tn? 2n?111．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构造一个新数列：a1，(a2–a1)，（a3-a2），…，（an-an-1）…，

1此数列是首项为1，公比为的等比数列 3(l)求数列{an}的通项；(2)求数到{an}的前n项和Sn 2an212．已知数列{an}的首项a1=，an?1?，n=1，2，… a?13nn2?n?2?1??n?(1)证明：数列??1?是等比数列；(2)求数列??的前n项和Sn ?an??an?13．（2012大连一模）已知各项均为正数的数列{an}满足a1?1,an?1?an?an?1?an?0。 ?1??2n?（1）求证：数列??是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列??前n项和Sn。

?an??an?1答案：（1）an?（2）Sn?(n?1)2n?1?2 n314．（2012东三省第一次联考）数列{an}前n项和Sn，且Sn?(an?1)，数列{bn}满足

213bn?bn?1?(n?2)，且b1?3。

44（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn?an?log2(bn?1)，其前n项和为Tn，求Tn。

(5?2n)3n?1?15答案：（1）an?3,bn?4?1；（2）Tn?2

15．（2012东三省第三次联考）数列{an}满足an?2an?1?n?2n(n?N*,n?2)，且a1?2

a（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn?n?1，当数列{bn??n}为递增数列时，求正实数?的取值

ann2?n范围。 答案：（1）an?(n2?n)2n?1（2）??2

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