28、蓬莱山上有1 000个居民，他们考虑修筑绕山公路。山上的居民有相似的效用函数Ui(xi，y)＝xi－100/y，其中，xi是居民i私人消费的货币值，而y是公路的长度，以米计算。假定每个居民每年的收人为1 000元，而每修1米公路的成本为10元。

(1)写出某居民的公路与私人消费之间的边际替代率。 (2)计算帕累托最优的公路长度。

(3)如果修筑公路的成本由全体居民均摊，即，若修Y米公路，则每人分担10y/1000=y/100元。这时，每个居民的预算方程如何?如果让每个居民表决决定公路的长度，居民们的选择与帕累托最优解是否一致?

29、双胞胎“形”和“影”住在一起，每月共有800元的收入。她们将一部分收入用于公共消费，如家具、房租等，一部分用于各自的私人消费，如服装、娱乐等。以G代表公共消费开支，S代表各自的私人消费，“形”的效用函数为Ux=2Sx＋G，“影”的效用函数为Uy＝SyG。

(1)“形”和“影”的公共消费和私人消费之间的边际替代率各为多少? (2)写出决定公共消费量的帕累托优化条件。

(3)如果“形”和“影”的消费均为200元，而公共消费为400元，这是否是一个帕累托优化分配?

(4)写出“形”的私人消费高于200元、而“影”的私人消费低于200元的帕累托优化分配?

(5)写出决定全部帕累托最优分配的方程式。

46 / 66

30、某社会只有甲、乙、丙三个公民。他们对共用品的需求分别为 P1=100－x，P2=100－2x， P3=100－3x

其中，x是共用品的数量。每单元共用品的成本是4元。 (1)求社会对共用品的需求函数。 (2)该社会共用品的最优产量是多少? (3)每个公民愿付的最高价格各是多少?

31、贫富岛上有两种公民，穷人和富人。岛上只有两种物品，食物和住房。每个公民的效用函数为Ui?(si,zi)?sizi，其中，Si代表食物量，zi代表住房量。该岛共有穷人2000

人，每人的收入为#50(#为当地货币符号)；富人1 000人，每人的收人为#100。尽管住房是私人消费，但在该岛上则由政府提供。而食物则是私人消费。已知食物价格#1一单元，而住房的成本为#2一单元。政府除提供住房以外，并无其他职能。政府除税赋之外，也无其他收人。所以，政府提供住房的成本必须和税收相平衡。

(1)假如政府规定每个公民无论贫富，住房为20单元；又以“人头税”，即每个公民缴纳相同的税，来征集资金。那么，每个富人和穷人各剩下多少钱用于食物?

(2)在“人头税”制度下，如果政府规定每个公民的住房为z单元，那么每个公民实际上面临着怎样的预算约束?在此条件下，穷人最喜欢多少单元的住房?富人呢?

(3)如果住房“私有化”，即每个公民可以自由选择住房量，就像他们可以选择食物一样，而且，如果食物的价格为#1，住房的价格为#2，那么，穷人富人对住房的需求各为多少?

(4)假设住房仍由政府提供，税赋则由“人头税”改为“收入比例税”，即每个富人的纳税是穷人的两倍。如果政府规定每个公民的住房为z单元，为使财政收支相抵，每个穷人、富人各纳税多少?

(5)在“收入比例税”制度下，穷人愿意有多少住房?富人呢?

47 / 66

(6)如果住房由政府提供，并由公民投票来决定每人的住房单元。根据一人一票，少数服从多数的原则，穷人的选择成为社会的选择。如此，分别计算穷人和富人在“人头税”、“收入比例税”、“私有化”三种情况下的效用。“比例税”是否帕累托优于“人头税”?“私有化”是否帕累托优于“人头税”?“私有化”是否帕累托优于“收入比例税”?请对你的解答略加阐述。

32、在公共决策理论里，有一个决定社会偏好的模型，叫做“等级评分法”。假如社会面临10个可能的方案，每个选民对这10个方案排队，给第一选择打10分，第二选择打9分，等等。然后，社会的偏好以各方案所得总分的高低而排定。社会的偏好定义为：如果X的总分不比Y的总分少，那么，X至少与Y一样好。我们假定社会所面临的选择是有限的。

(1)如果每个选民的偏好是完备的、传递的，那么，以“等级选票法”所决定的社会偏好是否是完备的、传递的?

(2)如果每个选民都认为x比y好，那么社会的偏好是否表现为X比Y好?为什么? (3)假定某社会有两个选民，面临三种选择：x，y，z。选民甲的选择为x第一，z第二，y第三。选民乙的选择依次为y，x，z。根据等级评分法，社会的偏好是什么?

(4)现在假定选民们对方案z有了更多的了解。于是，选民甲的选择改为x，y，z，而选民乙的选择为y，z，x。这时，社会的偏好又如何?

(5)社会对X，Y的选择是否依赖于每个选民对x，y的选择而不依赖于选民们对其他方案(Z)的选择?

33、假设某社会共有甲、乙、丙、丁四个公民，政府准备提供某共用品。现有A、B、C三种方案，每一方案的成本都是500元。现假定政府决定每个公民出资125元，并利用轴心机制成功地诱导出每一方案对每个公民的价值，见下表。

各方案对公民的价值 甲 A 100 48 / 66

B 50 C 10 乙 丙 丁 (1)哪个方案会被选中?

80 50 300 200 100 250 150 250 50 (2)在被选中的方案中，哪些公民是轴心? (3)政府从轴心公民处一共罚了多少款?

34、甲、乙、丙、丁、戊五人委员会将通过投票从A、B、G、D、E 5个方案里选择一个。该委员会采用等级评分表决规则：每人给其第一选择5分，第二选择4分，如此递推，给最后选择1分。得总分最多的方案便是委员会的集体决定。下表是各委员的偏好。

排名 第一 第二 第三 第四 第五 少?

(2)现假设甲委员按照A、E、D、G、B的排名次序来投票，而其他委员仍按各自的偏好投票。这样，哪个方案得分最多?

(3)甲委员比较喜欢题(1)的结果还是题(2)的结果?老实投票是不是纳什均衡?

甲 A C D B E 乙 B C E D A 丙 B C A E D 丁 C D A E B 戊 A B E D C (1)如果每个人都按自己的偏好老老实实地投票，哪个方案将被选中?这个方案得分多

35、 在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者，A和B，两种商品，X和Y。交换初始，A拥有3个单位的X，2个Ｙ，B有1个Ｘ和6个Y。 他们的效用函数分别为：U(XA, YA)=XAYA, U(XB, YB)=XBYB. 求

（1） 市场竞争均衡的（相对）价格和各人的消费量。 （2） 表示帕累托最优分配的契约线的表达式。

（1）

max xAyAs..tpxxA?pyyA?3px?2py3px?2py2px，yA?

解出：xA?3px?2py2pypx?6py2py

类似的，xB?px?6py2px，yB?

49 / 66

又有均衡条件：xA?xB?3?1，yA?yB?2?6 所以，

4px?8py2px?4，

4px?8py2py?8，所以，px?2py

代入可知：xA?2，yA?4，xB?2，yB?4。 （2）

max xAyAs..t?4?xA??8?yA??uB

L?xAyA???uB??4?xA??8?yA??

f.o.c. yA???yA?8??0，xA???xA?4??0

得到：yA?2xA

36、其它条件相同，如果A的效用函数为 U(XA, YA)=XA+YA，求一般均衡价格和契约线。

（1）

max xA?yAs..tpxxA?pyyA?3px?2py

f.o.c.1??px?0,1??py?0

存在内点解时：px?py

max xByBs..tpxxB?pyyB?px?6py

解出：xB?3.5，yB?3.5。 通过均衡条件：xA?0.5，yB?4.5。

（2）

max xByBs..t?4?xB???8?yB??uA

L?xByB???uA??4?xB???8?yB??

f.o.c. yB???0，xB???0

所以，在存在内点解时，xB?yB。

50 / 66