第四部分 博弈

1、某博弈的报酬矩阵如下： 甲

(1)如果(上，左)是优势策略(donlinant strategy)均衡，那么a>?，b>?，g>?，h>? (2)如果(上，左)是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足?

(3)如果(上，左)是优势策略均衡，那么，它是否必定是纳什均衡?为什么?

上 下 乙 左 a, b e, f 右 c, d g, h

2、老大和老二在南京路上逛街，不慎被人流冲散，两人都急切地希望找到对方。回顾谈话的内容，两人都清楚对方可能在中百一店或华联商厦。如果两人都去华联商厦，则一定相遇。如果两人都去中百一店，则因商店之大，只有50％的可能性相遇。他们的报酬矩阵如下 老大 中百一店 华联商厦 老二 中百一店 500, 500 0, 0 华联商厦 0, 0 1000, 1000 (1)这个博弈有没有优势策略均衡?有没有纯策略的纳什均衡?

(2)如果两人都认为对方有可能去华联商厦，光凭这点是否足以促使两人都去华联商厦? (3)如果两人都知道报酬矩阵，两人都知道对方也知道这矩阵，那么，两人都去华联商厦是否会实现?为什么?

3、冷霸和冰王都是空调制造商。它们可以生产中档产品或高档产品，每个企业在四种不同情况下的利润由报酬矩阵所表示。冷霸捷足先登，可以先于冰王投入生产。而且，冷霸知道冰王在决定产品时，一定知道冷霸的产品。 冷霸 高档 抵挡 冰王 高档 400, 400 1000, 800 抵挡 800, 1000 500, 500 (1)用博弈树(决策树)来表示这一博弈的展开式。 (2)这一博弈的完美子博弈均衡是什么?

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4、甲乙两人面临一个分割游戏。面对着10个一角钱的硬币，甲先提出给乙1个，或2个，或3个，……，或10个硬币。然后，乙可以接受或拒绝甲的提议。如果乙接受甲的提议，那么10个硬币按甲的提议分割。如果乙拒绝甲的提议，两人便什么也得不到，游戏结束。请求出子博弈完美纳什均衡。

甲提议给乙1个硬币，乙接受。

5、娄阿鼠好赌，他的效用函数为U(C)=C2。赌场用均匀骰子，若骰子出现3或5，庄家付15贯；不然，庄家分文不付。每赌一场，得先付7贯。

(1)赌场赚钱吗?

(2)娄阿鼠会不会去赌?他的效用函数是凸的还是凹的?

6、拳王阿里的效用函数为U(c)?率为10％。

(1)阿里的效用期望值是多少?

(2)如果阿里付了P作为保险金。当他受伤时，保险公司补足他的收入为美元，请问阿里最多愿意付多少保险金？

c。他与代理人签订了一项合同：只要阿里出战，

他将得到美元的报酬。如果他严重受伤，不能角斗，那只能得到40000美元。严重受伤的概

7、甲、乙两公司筹划合资开发一个项目，该项目的总收益是200(Vl+V2)1/2，其中V1和V2为甲、乙两公司对R&D的总投资。两公司约定平分该项目的总收益。

(1)试证明最优总投资应该是10 000元。在最优总投资条件下，这一R&D项目所创造的净收益是多少?

(2)由于一个公司难以监督另一公司的R&D开支，所以两公司无法签署规定双方投资的合同。试证明在这种情况下，如果甲公司认为乙公司的R&D投资V2，那么甲的最优投资是

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2 500－V2。这时，两公司的总投资为多少?R&D项目的净收益为多少?

8、小王现在的工作允许他随便干多少小时，前8个小时的工资率为每小时1元，超过8个小时，工资率为2.50元。他现在每天工作12小时。如果新的工作也允许他随便干多少小时，工资率总是1．50元，小王愿不愿接受新工作?请解释。

愿意。原工作每天劳动12小时，收入8元。在新的工作上，每天工作12小时也可能得18元。

9、某地方政府考虑以下两个济贫方案：A.给每个穷人每天10元，B.给每个穷人以其所挣收入的20％。

(1)假设每个穷人可以找到每小时3元的工作。这两个救济方案将如何影响每个穷人每天的预算?

(2)哪个方案比较有可能导致穷人减少工作时间?

10、给定如下支付矩阵 Player A

T B

Player B

L (a,b) (e,f) R (c,d) (g,h) (1). 如(T,L)是超优策略，则a-h间应满足什么关系？ （2）如(T,L)是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？

（3）如(T,L)和(B,R)都是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？

(1) T is player A’s dominate strategy if and only if a?e and c?g; L is player B’s dominate strategy iff. b?d and f?h. Therefore we should have:

a?e, c?g, b?d and f?h

(2) As (T, L) is Nash equilibrium, we know that given A choosing T, B will choose L, and vice verse. For this to hold; we need b?d and a?e

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(3) Similarly, for (B, R) to be Nash equilibrium, we need h?f and g?c. Therefore if (T, L) and (B, R) are both Nash equilibrium, a-h should satisfy:

a?e, g?c, b?d and h?f

11、在足球射门的例子中，混合策略是什么？个人的支付（payoff）为多少？ The payoff of the game is: The Penality Taker

Left Right Left (1,0) (0,1) The Goalkeeper

Right (0,1) (1,0)

Easy to check, there is no pure strategy Nash equilibrium in this game. Suppose in the equilibrium, the mixed strategy of the goalkeeper is (p, 1-p), which should equalize two expected payoffs of the penality taker:

takertakerUleft?0?p?1?(1?p)?Uright?1?p?0?(1?p)? p?0.5

Suppose in the equilibrium, the mixed strategy of the penality taker is (q, 1-q), which should equalize two expected payoffs of the goalkeeper:

keeperkeeperUleft?1?q?0?(1?q)?Uright?0?q?1?(1?q)? q?0.5

Therefore the mixed equilibrium is: {(0.5, 0.5); (0.5, 0.5)} The payoff of each player is;

Utaker?0.25?0?0.25?1?0.25?1?0.25?0?0.5 Utaker?0.25?1?0.25?0?0.25?0?0.25?1?0.5

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