中考数学二轮专题复习：函数型综合题

【简要分析】

中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键． 【典型考题例析】

例1：如图2-4-20，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．

分析与解答 （1）由图2-4-20可得C（0，3）．

∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与x轴的两个交点为A（－3，0）、B（1，0），

∴抛物线的对称轴为x??1，D点的坐标为（－2，3）． （2）设一次函数的解析式为y?kx?b， 将点D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得

3A-3-2-1OyCB123x图2-4-20??2k?b?3，解得k??1,b?1． ?k?b?0?∴一次函数的解析式为y??x?1．

（3）当x??2或x?1时，一次函数的值大于二次函数的值． 说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形思想的运用等．

例2 如图2-4-21，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB的面积．

分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利定系数法可求出其解析式．第（20问，△MCB不是一个特殊形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解．

2yMDCBAONx函的结合

与

xD

图2-4-21用待三角

?a?b?c?0?a??1??（1）设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，根据题意，得?c?5，解之，得?b?4．

?a?b?c?8?c?5??∴所求抛物线的解析式为y??x2?4x?5．

（2）∵C点的坐标为（0，5）．∴OC=5．令y?0，则?x2?4x?5?0，解得x1??1,x2?5． ∴B点坐标为（5，0）．∴OB=5．

22y??x?4x?5??(x?2)?9，∴顶点M坐标为（2，9）． ∵

过点M用MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9．

11S?S?S?S?(5?9)?9?(5?2)??5?5?15 ?BNM?OBC∴?MCB梯形OCMN22说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．

例3 ：已知抛物线y??x2?(m?4)x?2m?4与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)，与y轴交于点C，且x1、

x2满足条件x1?x2,x1?2x2?0

（1）求抛物线的角析式；

（2）能否找到直线y?kx?b与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积？求出k、b所满足的条件．

分析与解答 （1）∵△=(m?4)2?4(2m?4)?m2?32?0， ∴对一切实数m，抛物线与x轴恒有两个交点，

由根与系数的关系得x1?x2?m?4…①，x1x2??(2m?4)…②．

由已知有x1?2x2?0…③．③－①，得x2?4?m,x1??2x2?2m?8.由②得

(2m?8)(4?m)??(2m?4)．化简，得m2?9m?14?0．

解得m1?2,m2?7.当m1?2时,x1??4,x2?2，满足x1?x2．当m2?7时，不满足x1?x2，x1?6,x2??3，∴抛物线的解析式为y??x2?2x?8．

（2）如图2-4-22，设存在直线y?kx?b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为xQ，直线与y轴交于点E．

∵S?PCE?S?QCE?11?CE?xP??CE?xQ， 22yCPEOQx的

两

∴xP?xQ，由y轴平分△CPQ的面积得点P、Q在y轴?y?kx?b侧，即xP??xQ，∴xP?xQ?0，由?得2y??x?2x?8?x2?(k?2)x?b?8?0．

图2-4-21又∵xP、xQ是方程x2?(k?2)x?b?8?0的两根， ∴xP?xQ??(k?2)?0，∴k??2． 又直线与抛物线有两个交点，

∴当k??2且b?8时，直线y?kx?b与抛物线的交点P、Q，使y轴能平分△CPQ的面积．故

y??2x?b(b?8)．

说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．

例4 已知：如图2-4-23，抛物线y?ax2?bx?c经过原点（0，0）和A（－1，5）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）

（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD?S?DON？请求出此时点P的坐标．

分析与解答 （1）∵抛物线过O(0，0)、A（1，－3）、B（－1，5）三点，

yPOA图2-4-21EDNMx?c=0?a?1??2∴?a+b+c=-3，解得?b??4，∴抛物线的解析式为y?x?4x． ?a-b+c=5?c?0??（2）抛物线y?x?4x与x轴的另一个交点坐标为C（4，0），连结EM． ∴⊙M的半径是2，即OM=DM=2． ∵ED、EO都是的切线，∴EO=ED．

21OMOE?2m 21（3）设D点的坐标为（x0，y0），则S四边形EOMD?2S?OME?2?OM?y0?2y0．

2∴△EOM≌△EDM．∴S四边形EOMD?2S?OME?2?当S四边形EOMD?S?DON时，即2m?2y0，m?y0，故ED∥x轴，

又∵ED为切线，∴D点的坐标为（2，3），

∵点P在直线ED上，故设点P的坐标为（x，2）， 又P在抛物线上，∴2?x?4x．∴x1∴P(2?2?2?6,x2?2?6．

6,2)或P(2?6,2)为所求.

【提高训练】

1．已知抛物线的解析式为y?x?(2m?1)x?m?m，（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．（2）若此抛物线与直线y?x?3m?4的一个交点在

2y轴上，求m的值．